Test Evaluare Națională – Clasele V-VII – Subiectul III

În figura alăturată este reprezentată o terasă $~A B E C D,~$ unde $~A B C D~$ este un dreptunghi, iar $~B C E~$ este un triunghi echilateral. Segmentele $~A C, A E~$ şi $~B C~$ reprezintă niște pereți despărțitori, iar $~\{P\}=A E \cap B C.~$ Se știe că $~A B=8 \mathrm{~m},~$ iar pereții $~A C~$ și $~C E~$ sunt perpendiculari.

(2p)   a) Calculează suprafața terasei.
(3p)   b) Arată că distanța dintre punctele $~B~$ și $~P~$ este mai mică de $~2,8 \mathrm{~m}.$

Fie $~A B C D~$ un dreptunghi având $~A D=4 \mathrm{~cm}~$ și $~A B=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~E~$ aparṭine segmentului $~D B,~$ cu $~B E=3 D E,~$ iar paralela dusă prin $~E~$ la $~D C~$ intersectează latura $~B C~$ în punctul $~M.$

(2p)   a) Arată că $~E M=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.$
(3p)   b) Demonstrează că $~A E \leq A F,~$ oricare ar fi punctul $~F~$ pe segmentul $~B D.$

Se consideră numerele reale $~x=2 \sqrt{3}(\sqrt{75}+\sqrt{108}-\sqrt{300})~$ și $~y=\left(\frac{3}{2 \sqrt{3}}-\frac{4}{3 \sqrt{3}}\right): \frac{1}{\sqrt{24}} \cdot 2 \sqrt{8}.$
$2~p \quad$a) Arată că $~x=6.$
$3~p \quad$b) Calculează media geometrică a numerelor reale $~x~$ și $~y.$

Se consideră numerele
$x=\left(\frac{6}{\sqrt{63}}-\frac{4}{\sqrt{112}}+\frac{6}{\sqrt{28}}\right) \cdot\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)^{-1}~$
și $~y=2^{3^3} \cdot 4^3: 8^{10}.$
(2p)   a) Arată că $~x=2.$
(3p)   b) Demonstrează că media geometrică a numerelor $~x~$ şi $~y~$ este număr natural pătrat perfect.

Fie $~A B C~$ un triunghi. În figura alăturată, $~D~$ este simetricul punctului $~A~$ față de dreapta $~B C.$

(2p) a) Arată că $~A B=B D.$
(3p) b) Pe dreapta $~B C~$ se consideră punctul $~H,~$ astfel încât $~A H \perp C D.~$ Demonstrează că dreptele $~D H~$ și $~A C~$ sunt perpendiculare.

O cantitate de mere a fost împărțită în mod egal într-un număr de lădiṭe. Mai întâi s-au pus câte 7 kg în fiecare lădiță și au rămas 65 kg. Apoi s-au mai adăugat câte 8 kg în fiecare lădiṭă și a mai rămas un kilogram.
(2p) a) Pot fi nouă lădițe? Justifică răspunsul.
(3p) b) Află cantitatea inițială de mere.