Test Bacalaureat și Admiteri – M1

Numărul soluțiilor $~(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}~$ ale ecuației $~2|x-2|+3|y-3|=0~$ este:

Imaginea funcției $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+a x+1}{x^{2}+x+1}, a \in \mathbb{R},~$ este inclusă în intervalul $~[0,2],~$ dacă:

Fie parabolele de ecuații:
$P_{1}: \quad y=x^{2}+5 x+4~$ și
$P_{2}: \quad y=(m-1) x^{2}+(4 m+n-4) x+5 m+2 n-4,~$ unde $~m, n \in \mathbb{R}, m \neq 1.$
Parabolele au singurul punct comun $~C(1,10)~$ dar nu sunt tangente dacă:

Să se găsească numărul complex $~z~$ dacă $~|z|-z=1+2 i.$

Fie funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=9^{x}-5^{x}-4^{x}.$
Numărul de soluții reale ale ecuației $~f(x)=0~$ este:

Fie $~P, Q, R: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}~$ funcții polinomiale de grad cel mult doi și $~a, b, c \in \mathbb{C}~$ astfel ca
$$
\left|\begin{array}{lll}
P(a) & Q(a) & R(a) \\
P(b) & Q(b) & R(b) \\
P(c) & Q(c) & R(c)
\end{array}\right|=1
$$
Suma
$$
\left|\begin{array}{lll}
P(1) & Q(1) & R(1) \\
P(b) & Q(b) & R(b) \\
P(c) & Q(c) & R(c)
\end{array}\right|$$+$$\left|\begin{array}{lll}
P(a) & Q(a) & R(a) \\
P(1) & Q(1) & R(1) \\
P(c) & Q(c) & R(c)
\end{array}\right|$$+$$\left|\begin{array}{ccc}
P(a) & Q(a) & R(a) \\
P(b) & Q(b) & R(b) \\
P(1) & Q(1) & R(1)
\end{array}\right|
$$ este:

Se consideră matricea
$U(a, b)=\left(\begin{array}{llll}a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a\end{array}\right).$
$ U^{11}(1,1)~$ este:

Fie monoidul $~(M, \cdot)~$ unde $~M=\left\{A_{a} \mid a \in \mathbb{R}\right\}~$ cu $~A_a=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & a\end{array}\right).$
Elementul unitate este:

Fie $~x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}~$ rădăcinile polinomului $~P=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1.$
$x_{1}^{8}+x_{2}^{18}+x_{3}^{28}+x_{4}^{38}~$ este:

Numărul punctelor de extrem ale funcției $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~$ $~f(x)=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}~$ este:

Fie $~a \in \mathbb{R}, a \gt 0~$ un număr fixat. Se consideră șirurile $~\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}},\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}~$ definite prin $~x_{n+1}=a^{\displaystyle \frac{1}{(n+1)!} \normalsize } \cdot x_{n}^{\displaystyle \frac{1}{n+1} \normalsize },~$ $~n \geq 1, x_{1}=1,~$ $~ b_{n}=\prod \limits_{k=1}^{n} x_{k}.$
Limita $~\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}~$ este:

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=x-\mathrm{e}^{-x} \quad~$ și fie $~g~$ inversa lui $~f.$
$\displaystyle \int \limits_{-1}^{1-1 / e} g(x) \mathrm{d} x~$ este:

Mulțimea primitivelor funcției $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e^{x}+1}}~$ este:

Fie punctele $~A(0,2)~$ și $~B(3,3).~$ Notăm cu $~P~$ proiecția punctului $~O(0,0)~$ pe dreapta $~A B.$
Care sunt coordonatele punctului $~P$? Care este aria triunghiului $~O A B$?

Dacă $~\sqrt{3} \sin x+\cos x-2=0,~$ atunci: