Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Un turist a parcurs un drum în trei zile. În prima zi a mers 18 km, a doua zi a parcurs $~\frac{3}{5}~$ din distanṭa rămasă, iar pentru ultima zi i-a rămas de făcut $~25 \%~$ din distanța inițială.
(2p)   a) Află ce procent din distanța inițială a parcurs turistul în primele două zile.
(3p)   b) Determină lungimea totală a drumului.

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3-x.$

(2p)   a) Reprezintă graficul funcției $~f~$ în sistemul de axe ortogonale $~x O y~$ din figura alăturată.
(3p)   b) Considerăm punctul $~M(4,4).~$ Demonstrează că dreapta $~O M~$ este perpendiculară pe graficul funcției.

Se consideră expresia
$E(x)=\left(1-\frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{x+1}{x^2+1}:\left(\frac{x+3}{4 x-4}-\frac{1}{x-1}\right),$
unde $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1\}.$
(2p)   a) Arată că $~E(x)=\frac{4 x}{x^2+1},~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1\}.$
(3p)   b) Demonstrează că $~-2 \leq E(x) \leq 2,~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,1\}.$

În figura alăturată, $~A B C D~$ este un trapez dreptunghic cu $~\sphericalangle A=\sphericalangle D=90^{\circ},~$ $~A B=4 \mathrm{~cm}, C D=2 \mathrm{~cm}~$ si $~A D=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~A D.$

(2p)   a) Arată că $~B C=6 \mathrm{~cm}.$
(3p)   b) Arată că $~\sphericalangle B M C=90^{\circ}.$

În figura alăturată este reprezentată schematic o stâncă în formă de piramidă patrulateră regulată $~V A B C D,~$ cu latura bazei $~A B=30 \mathrm{~m}~$ și muchia laterală $~V A=25 \mathrm{~m}.~$ Un alpinist urcă din punctul $~A~$ până în punctul $~M \in(V B)~$ și apoi coboară în punctul $~C,~$ unde punctul $~M~$ este ales, astfel încât drumul parcurs $~A M+M C~$ să fie cel mai scurt posibil.

(2p) a) Calculează $~A M+M C.$
(3p) b) Află măsura unghiului format de dreptele $~A C~$ şi $~V B.$

În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $~A B C D~$ cu $~A B \| C D, A D=B C=C D=12 \mathrm{~cm}~$ și măsura unghiului $~A B C~$ de $~60^{\circ}.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul bazei $~A B.$

(2p)   a) Arată că $~A M=12 \mathrm{~cm}.$
(3p)   b) Determină lungimea segmentului $~A C.$