Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Se consideră
$E(x)=\left(\frac{2 x}{3}-\frac{6}{x}\right): \frac{x^2-4 x+3}{x^2-x},~$ unde $~x \in \mathbb{R} \backslash\{0,1,3\}.$
(2p) a) Arată că $~E(x)=\frac{2 x+6}{3},~$ oricare ar fỉ $~x \in \mathbb{R} \backslash\{0,1,3\}.$
(3p) b) Pentru câte numere naturale $~n,~$ unde $~n \leq 100,~$ numărul $~E(n)~$ este întreg?

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{4 x+12}{3}.~$ Fie $~A~$ și $~B~$ punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $~f \mathrm{cu}~$ axele $~O x,~$ respectiv $~O y,~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y.$

(2p)  a) Determină coordonatele punctelor $~A~$ și $~B.$
(3p)  b) Determină coordonatele punctului $~P,~$ situat pe graficul funcției $~f,~$ astfel încât $~A B=B P.$

În figura alăturată este reprezentat cubul $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime},~$ având latura $~A B=30 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul laturii $~B C.$

(2p) a) Câți litri de apǎ încap într-un vas ce are forma şi dimensiunile acestui cub?
(3p) b) Determină distanța de la punctul $~A^{\prime}~$ la planul $~\left(M D D^{\prime}\right).$

Un topograf se află în punctul $~A~$ al unei şosele $~d,~$ paralelă cu podul $~B C,~$ ca în figura alăturată. Punctul $~A~$ este situat la egală distanță de capetele $~B~$ și $~C~$ ale podului, iar topograful vede podul sub unghiul $~B A C~$ de $~20^{\circ}.~$ Apoi topograful se deplasează pe șosea în punctul $~D,~$ astfel încât $~B D~$ este bisectoarea unghiului $~A B C.$

(2p)   a) Arată că segmentele $~A B~$ și $~A D~$ au lungimi egale.
(3p)   b) Determină măsura unghiului $~B D C~$ sub care topograful vede podul din noua poziție.

Triunghiul $~A B C~$ din figura alăturată este dreptunghic în $~A, \sphericalangle A C B=15^{\circ}~$ și $~B C=12 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~B C,~$ iar $~D~$ este proiecția punctului $~A~$ pe $~B C.$

(2p)   a) Arată că $~\sphericalangle A M B=30^{\circ}.$
(3p)   b) Demonstrează că $~D M \lt 5,2 \mathrm{~cm}.$

Într-un grup de copii, numărul fetelor este de trei cincimi din numărul membrilor grupului. Dacă ar mai veni patru fete, numărul fetelor ar fi dublul numărului băieților.
(2p) a) Ce procent reprezintă numărul inițial al fetelor din numărul total inițial de copii?
(3p) b) Câți băieţi sunt în grup?