Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Andrei şi Bogdan au împreună 210 lei. Dacă Andrei i-ar da lui Bogdan o sesime din suma pe care o are, atunci Bogdan ar avea jumătate din suma rămasă lui Andrei.
(2p)   a) Este posibil ca Andrei să aibă 162 de lei? Justifică răspunsul dat.
(3p)   b) Află ce sumă are Andrei.

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic $~A B C~$ cu $~A B=15 \mathrm{~cm},~$ $~A C=20 \mathrm{~cm}~$ și măsura unghiului $~B A C~$ de $~90^{\circ}.~$ Construim $~A D~$ perpendiculară pe $~B C, D \in B C~$ și $~D E~$ paralelă cu $~A C, E \in A B.$

(2p) a) Arată că $~A D=12 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Determină lungimea segmentului $~D E.$

Fie funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(1-\sqrt{2}) x+\sqrt{2}.$

(2p) a) Află media aritmetică a numerelor $~f(0)~$ și $~f(2).$
(3p) b) Determină numerele raționale $~a~$ și $~b,~$ dacă $~A(a \sqrt{2}, b)~$ este situat pe graficul funcției.

În figura alăturată sunt reprezentate trei pătrate cu laturile egale: $~A B G H, B C F G~$ și $~C D E F.~$ $~O~$ este punctul de intersecție a dreptelor $~A F~$ și $~D G,~$ iar aria dreptunghiului $~A D E H~$ este egală cu $~48 \mathrm{~cm}^2.$

(2p)   a) Arată că $~A D=12 \mathrm{~cm}.$
(3p)   b) Determină lungimea segmentului $~O F.$

În figura alăturatā este reprezentată o prismă triunghiulară regulată $~A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}~$ cu latura bazei $~A B=12 \mathrm{~cm}~$ și muchia laterală $~A A^{\prime}=8 \mathrm{~cm}.~$ Punctele $~M~$ și $~N~$ sunt mijloacele laturilor $~A B,~$ respectiv $~A C.$

(2p) a) Arată că punctele $~M, N, C^{\prime}, B^{\prime}~$ sunt coplanare.
(3p) b) Calculează perimetrul patrulaterului $~B^{\prime} M N C^{\prime}.$

Se consideră expresia
$E(x)=x-\left(1+\frac{\sqrt{18}}{x-2 \sqrt{2}}\right): \frac{x^2+3 x \sqrt{2}+4}{x^2-8},~$ unde $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-2 \sqrt{2},-\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}\}.$
(2p) a) Arată că $~x^2+3 x \sqrt{2}+4=(x+\sqrt{2})(x+2 \sqrt{2}),~$ pentru orice număr real $~x.$
(3p) b) Demonstrează cǎ $~E(x)=x-1,~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-2 \sqrt{2},-\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}\}.$