Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $~A B C,~$ având baza $~B C=2 \mathrm{~cm}~$ și perimetrul egal cu 16 cm. Punctul $~D~$ se află pe semidreapta $~B C~$ și $~B D=5 \mathrm{~cm}.$

(2p) a) Demonstrează că $~A D=8 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Justifică relația $~\sphericalangle A B C \gt 60^{\circ}.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+1.$
(2p) a) Arată că produsul $~f\left(\frac{1}{2}\right) \cdot f\left(\frac{1}{3}\right) \cdot f\left(\frac{1}{4}\right) \cdot f\left(\frac{1}{5}\right)~$ este un număr natural.
(3p) b) Calculează lungimea segmentului $~A B,~$ unde $~A~$ și $~B~$ sunt punctele de intersecție a graficului funcției $~f \mathrm{cu}~$ axele de coordonate $~O x,~$ respectiv $~O y.$

O jucărie are formă de piramidă patrulateră regulată $~O A B C D~$ cu baza $~A B C D~$ și toate muchiile cu lungimea de 6 cm. Punem jucăria într-o cutie în formă de prismă patrulateră regulată cu latura bazei de 6 cm şi inălțimea de $~6 \sqrt{6} \mathrm{~cm},~$ astfel încât piramida şi prisma să aibă aceeași bază (vezi figura alăturată).

(2p) a) Calculează distanța de la $~O~$ la planul $~(A B C).$
(3p) b) Determină măsura unghiului dintre dreptele $~A O~$ şi $~A C^{\prime}.$

În triunghiul $~A B C~$ din figura alăturată, măsura unghiului $~A~$ este de $~60^{\circ},~$ $~P~$ este mijlocul laturii $~B C,~$ iar $~B M~$ și $~C N~$ sunt înălțimile din $~B,~$ respectiv $~C,~$ unde $~M \in A C~$ şi $~N \in A B.$

(2p) a) Arată că $~P M=P N.$
(3p) b) Arată că triunghiul $~M N P~$ este echilateral.

Un turist parcurge un drum în patru zile, după cum urmează: în prima zi parcurge jumătate din drum, a doua zi, jumătate din rest, a treia zi, jumătate din noul rest, iar a patra zi, ultimul rest, care este de 200 km.
(2p) a) Află ce procent din întregul drum parcurge turistul în a doua zi.
(3p) b) Determină lungimea totală a drumului parcurs de turist în cele patru zile.

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{x+3}{x+1}-\frac{x+1}{x+3}\right): \frac{2 x+4}{x^2+x}-\frac{x-3}{x+3},~$ unde $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-3,-2,-1,0\}.$
(2p) a) Arată că $~E(1)=1.$
(3p) b) Demonstrează că $~E(x)~$ are o valoare constantă oricare ar fi $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-3,-2,-1,0\}.$