Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Cu un an în urmă, vârsta mamei era de patru ori mai mare decât vârsta fiicei sale. Peste trei ani, vârsta mamei va fi de trei ori mai mare decât vârsta fiicei sale.
(2p) a) Este posibil ca vârsta fiicei să fie 11 ani? Justifică răspunsul.
(3p) b) Determină vârsta mamei.

În figura alăturată sunt reprezentate trei pătrate cu laturile egale: $~A B G H, B C F G~$ și $~C D E F.~$ $~O~$ este punctul de intersecție a dreptelor $~A F~$ și $~D G,~$ iar aria dreptunghiului $~A D E H~$ este egală cu $~48 \mathrm{~cm}^2.$

(2p)   a) Arată că $~A D=12 \mathrm{~cm}.$
(3p)   b) Determină lungimea segmentului $~O F.$

În figura alăturată cercurile $~\mathscr{C} \left(O_1, r_1\right)~$ și $~\mathscr{C} \left(O_2, r_2\right)~$ sunt tangente exterior în punctul $~C, r_1=4 \mathrm{~cm}~$ și $~r_2=9 \mathrm{~cm}.~$ Dreapta $~A B~$ este tangentă cercului $~\mathscr{C} \left(O_1, r_1\right)~$ in $~A~$ și cercului $~\mathscr{C} \left(O_2, r_2\right)~$ in $~B.$

(2p) a) Arată că $~A B=12 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Demonstrează că $~A C \perp B C.$

În figura alăturată este reprezentat un trunchi de piramidă patrulateră regulată $~A B C D M N P Q~$ cu muchia bazei mari $~A B=12 \mathrm{~cm}~$ și înălțimea $~O O^{\prime}=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}.~$ Unghiul format de muchia laterală cu planul bazei mari are măsura $~45^{\circ}.$

(2p) a) Arată că muchia bazei mici are lungimea 6 cm.
(3p) b) Demonstrează că unghiul format de dreptele $~A M~$ și $~B P~$ are sinusul egal cu $~\frac{\sqrt{6}}{3}.$

Se consideră expresia
$E(x)=(2 x-3)^2-(x-1)(3 x+4)+7 x-6,~$ unde $~x \in \mathbb{R}.$
(2p)   a) Arată că $~E(x)=x^2-6 x+7,~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R}.$
(3p)   b) Arată că există o infinitate de valori $~a \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}~$ pentru care $~E(a) \in \mathbb{N}.$

Se consideră funcţiile $~f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-x+a, ~g(x)=b x-3,~$ unde $~a, b \in \mathbb{R}.~$ Graficele celor două funcții se intersectează in punctul $~A(\sqrt{3}, 0).$

(2p) a) Arată că $~a=b=\sqrt{3}.$
(3p) b) Știind că $~B~$ și $~C~$ sunt punctele de intersecție a reprezentărilor graficelor funcțiilor $~f,~$ respectiv $~g,~$ cu axa $~O y~$ a sistemului de axe ortogonale $~x O y,~$ determină măsura unghiului $~B A C.$