Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Un teren agricol are forma paralelogramului $~A B C D~$ din figura alăturată şi are dimensiunile $~A B=200 \mathrm{~m}, A D=50 \sqrt{2} \mathrm{~m}~$ și $~\sphericalangle B A D=45^{\circ}.$

(2p)   a) Calculează lungimea gardului ce împrejmuiește terenul.
(3p)   b) Arată că aria terenului este de un hectar.

Se consideră expresia
$E(x)=(2 x-3)^2-(x-1)(3 x+4)+7 x-6,~$ unde $~x \in \mathbb{R}.$
(2p)   a) Arată că $~E(x)=x^2-6 x+7,~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R}.$
(3p)   b) Arată că există o infinitate de valori $~a \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}~$ pentru care $~E(a) \in \mathbb{N}.$

În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept având drept secțiune axială pătratul $~A B B^{\prime} A^{\prime}~$ cu latura $~A B=6 \mathrm{~cm}.$

(2p)   a) Calculează volumul cilindrului.
(3p)   b) Pe cercul bazei inferioare se consideră punctul $~M~$ astfel încât $~A M=~$ $~=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.~$ Determină distanța de la punctul $~A~$ la planul $~\left(A^{\prime} B M\right).$

Într-un grup de copii, numărul fetelor este de trei cincimi din numărul membrilor grupului. Dacă ar mai veni patru fete, numărul fetelor ar fi dublul numărului băieților.
(2p) a) Ce procent reprezintă numărul inițial al fetelor din numărul total inițial de copii?
(3p) b) Câți băieţi sunt în grup?

În figura alăturată este reprezentat trapezul $~A B C D~$ cu $~A B \| C D,~$ $~A B \gt C D, \sphericalangle A=\sphericalangle D=90^{\circ}, A D=12 \mathrm{~cm}~$ și $~D C=9 \mathrm{~cm}.~$ Diagonalele $~A C~$ și $~B D~$ sunt perpendiculare. Paralela prin $~D~$ la dreapta $~A C~$ intersectează dreapta $~A B~$ în punctul $~E.$

(2p) a) Arată că $~E D=15 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Determină aria trapezului $~A B C D.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x-4~$ şi punctele $~A(3,0)~$ si $~B(0,-2).~$ Paralela prin $~A~$ la axa $~O y~$ intersectează graficul funcției $~f~$ în $~A^{\prime},~$ iar paralela prin $~B~$ la axa $~O x~$ intersectează graficul funcției $~f~$ în punctul $~B^{\prime}.$

(2p)   a) Determină coordonatele punctelor $~A^{\prime}~$ și $~B^{\prime}.$
(3p)   b) Arată că $~A^{\prime} B^{\prime}=2 \sqrt{5}.$