Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

În figura alăturată sunt reprezentate două triunghiuri isoscele cu interioarele disjuncte și $~A B=A C=A D=12 \mathrm{~cm}.~$ Măsurile unghiurilor $~B A C~$ și $~C A D~$ sunt egale cu $~30^{\circ},~$ punctul $~M~$ este mijlocul $~A D,~$ iar punctul $~N~$ este intersecția dreptelor $~B M~$ și $~A C.$

(2p) a) Arată că $~B M \perp A D.$
(3p) b) Demonstrează că lungimea segmentului $~N C~$ este mai mare de 5 cm.

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{x}{4}+\frac{2}{3}\right)^2-x\left(\frac{3 x}{16}-\frac{1}{3}\right),~$ unde $~x \in \mathbb{R}.$
(2p) a) Arată că $~E(x)=\frac{x-1}{3},~$ oricare ar fi numărul real $~x.$
(3p) b) Pentru câte numere naturale $~n \leq 100,~$ numărul $~E(n)~$ este întreg?

În figura alăturată este reprezentată o terasă $~A B E C D,~$ unde $~A B C D~$ este un dreptunghi, iar $~B C E~$ este un triunghi echilateral. Segmentele $~A C, A E~$ şi $~B C~$ reprezintă niște pereți despărțitori, iar $~\{P\}=A E \cap B C.~$ Se știe că $~A B=8 \mathrm{~m},~$ iar pereții $~A C~$ și $~C E~$ sunt perpendiculari.

(2p)   a) Calculează suprafața terasei.
(3p)   b) Arată că distanța dintre punctele $~B~$ și $~P~$ este mai mică de $~2,8 \mathrm{~m}.$

Un comerciant a vândut la piață mere și pere, în total $~72~$ kg. El a vândut kilogramul de mere cu $~5~$ lei și kilogramul de pere cu $~8~$ lei, încasând în total, pentru întreaga marfă, $~480~$ de lei.
$2~p \quad$a) Este posibil ca cele două cantități de fructe să fi fost egale? Justifică răspunsul.
$3~p \quad$b) Determină cantitatea de mere vândută de comerciant.

Paralelipipedul dreptunghic $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ din figura alăturată are dimensiunile $~A B=12 \mathrm{~m}, B C=3 \mathrm{~m}~$ și $~A A^{\prime}=4 \mathrm{~m}.$

(2p) a) Calculează aria totală a paralelipipedului.
(3p) b) Determină distanṭa de la punctul $~A~$ la dreapta $~B^{\prime} C.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(3 b-5 a) x+a-2 b, a, b \in \mathbb{R}.$

(2p) a) Determină $~a~$ și $~b,~$ știind că punctele $~M(-1,-9)~$ și $~N(2,3)~$ sunt situate pe graficul funcției $~f.$
(3p) b) Pentru $~a=1~$ și $~b=3,~$ arată că $~f(x)=4 x-5~$ și calculează $~\operatorname{tg}(\sphericalangle O A B),~$ unde $~A~$ și $~B~$ sunt punctele de intersecție a graficului funcției $~f~$ cu axele de coordonate ale reperului ortogonal $~x O y.$