Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x-3.$

(2p)   a) Determină coordonatele punctelor $~A~$ și $~B,~$ intersecțiile reprezentării grafice a funcției $~f \mathrm{cu}~$ axa $~O x,~$ respectiv axa $~O y~$ ale unui sistem de axe ortogonale $~x O y.$
(3p)   b) Determină coordonatele punctelor de pe reprezentarea grafică a funcției $~f~$ care se află la 3 unități de originea $~O~$ a sistemului $~x O y.$

Se consideră $~E(x)=\frac{x^{3}}{x-1} \cdot\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{4}}\right)-\frac{x+3}{x},~$ unde $~x~$ este un număr real, $~x \neq 0~$ și $~x \neq 1.$
(2p)   a) Arată că $~E(x)=-\frac{2}{x},~$ oricare ar fi $~x \in \mathbb{R} \backslash\{0,1\}.$
(3p)   b) Determină numerele întregi $~n~$ pentru care $~E(n)~$ este număr întreg.

În figura alăturată, $~A B C D~$ este un pătrat cu diagonala $~A C=10 \mathrm{~cm},~$ iar $~B D M~$ este un triunghi echilateral (punctele $~C~$ și $~M~$ sunt de aceeaşi parte a dreptei $~B D$).

(2p) a) Calculează aria pătratului.
(3p) b) Arată că segmentul $~C M~$ are lungimea $~5(\sqrt{3}-1) \mathrm{cm}.$

În figura alăturată este reprezentat un paralelipiped dreptunghic $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ cu $~A B=B C=4 \mathrm{~cm}~$ și $~A^{\prime} C=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.$

(2p)   a) Arată că paralelipipedul $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ este cub.
(3p)   b) Calculează distanța de la punctul $~B~$ la dreapta $~A^{\prime} C.$

Împărțind numărul natural $~n~$ la $~18~$ și la $~24,~$ se obțin câturi nenule și resturile $~11,~$ respectiv $~17.$
$2~p \quad$a) Este posibil ca $~n~$ să fie egal cu $~137$? Justifică răspunsul.
$3~p \quad$b) Determină cel mai mic număr natural $~n~$ cu proprietatea din enunț.

Figura alăturată reprezintă o hartă pe care se văd satele Albeni $~(A),~$ Bârleana (B), Cocârlaṭi (C) și Dudeşti (D) ale comunei Dudești, precum și cele cinci drumuri care leagă aceste localitãți. Pe hartă, drumurile $~A B, A C, B C~$ și $~C D~$ au câte 5 cm, iar punctele $~B, C~$ și $~D~$ sunt coliniare. Se știe că scara hărții este $~1: 100000.$

(2p) a) Arată că, în realitate, lungimea drumului $~A B~$ este 5 km.
(3p) b) Află distanța dintre satele Albeni şi Dudești.