Test Evaluare Națională – Clasele V-VII – Subiectul III

Se consideră numerele reale $~x=2 \sqrt{3}(\sqrt{75}+\sqrt{108}-\sqrt{300})~$ și $~y=\left(\frac{3}{2 \sqrt{3}}-\frac{4}{3 \sqrt{3}}\right): \frac{1}{\sqrt{24}} \cdot 2 \sqrt{8}.$
$2~p \quad$a) Arată că $~x=6.$
$3~p \quad$b) Calculează media geometrică a numerelor reale $~x~$ și $~y.$

Se consideră numerele
$x=\left(\frac{6}{\sqrt{63}}-\frac{4}{\sqrt{112}}+\frac{6}{\sqrt{28}}\right) \cdot\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)^{-1}~$
și $~y=2^{3^3} \cdot 4^3: 8^{10}.$
(2p)   a) Arată că $~x=2.$
(3p)   b) Demonstrează că media geometrică a numerelor $~x~$ şi $~y~$ este număr natural pătrat perfect.

Triunghiul dreptunghic $~A B C~$ din figura alăturată are ipotenuza $~B C=10 \mathrm{~cm}~$ şi cateta $~A C=6 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~D~$ aparține dreptei $~A B,~$ astfel încât $~A D=3 \mathrm{~cm}.$

(2p)   a) Află distanța de la punctul $~D~$ la dreapta $~B C.$
(3p)   b) Demonstrează că $~C D~$ este bisectoarea unghiului $~A C B.$

În figura alăturată este desenat un paralelogram $~A B C D~$ cu $~\sphericalangle B A D=30^{\circ}, A B=8 \mathrm{~cm}~$ și $~B C=4 \mathrm{~cm}~$ și triunghiurile echilaterale $~A B E~$ şi $~B C F.$

(2p) a) Calculează lungimea segmentului $~D E.$
(3p) b) Demonstrează că triunghiul $~D E F~$ este echilateral.

În figura alăturată cercurile $~\mathscr{C} \left(O_1, r_1\right)~$ și $~\mathscr{C} \left(O_2, r_2\right)~$ sunt tangente exterior în punctul $~C, r_1=4 \mathrm{~cm}~$ și $~r_2=9 \mathrm{~cm}.~$ Dreapta $~A B~$ este tangentă cercului $~\mathscr{C} \left(O_1, r_1\right)~$ in $~A~$ și cercului $~\mathscr{C} \left(O_2, r_2\right)~$ in $~B.$

(2p) a) Arată că $~A B=12 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Demonstrează că $~A C \perp B C.$

Trei copii se joacă în parc. Media vârstelor celor trei este 12 ani. La un moment dat, vine şi frățiorul unuia dintre ei şi, acum, media vârstelor celor patru este 10 ani.
(2p) a) Calculează suma vârstelor primilor trei copii.
(3p) b) Arată că vârsta frățiorului venit este 4 ani.