Test Evaluare Națională – Clasele V-VII – Subiectul III

Fie $~A B C D~$ un trapez, $~A B \| C D, A B=14 \mathrm{~cm}, C D=4 \mathrm{~cm}~$ și punctele $~M \in(A D),~$ $~N \in(B C), M N \| A B~$ și $~\frac{A M}{M D}=\frac{2}{3}.~$ Paralela prin $~C~$ la $~A D~$ intersectează dreptele $~M N~$ şi $~A B~$ în punctele $~Q,~$ respectiv $~P~$ (vezi figura alăturată).

(2p) a) Calculează lungimea segmentului $~M N.$
(3p) b) Demonstrează că $~M P \| B C.$

În sistemul de axe ortogonale $~x O y~$ se consideră punctele $~A(-6,-2),~$ $~B(0,6)~$ şi $~C(p, 0),~$ unde $~p~$ este un număr natural.
$2~p \quad$a) Reprezintă segmentul $~A B~$ într-un sistem de axe ortogonale $~x O y;$
$3~p \quad$b) Determină numărul natural $~p,~$ știind că triunghiul $~A B C~$ este isoscel, cu vârful în punctul $~B.$

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $~A B C D~$ cu $~A D \| B C,~$ $~\sphericalangle A=\sphericalangle B=90^{\circ}, A D=2 B C=6 \mathrm{~cm}~$ și, $~S_{A B C D}=27 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^2.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~A B.$

(2p)   a) Demonstrează că $~C D=9 \mathrm{~cm}.$
(3p)   b) Determină măsura unghiului $~D M C.$

În curtea bunicii sunt oi și rațe, care au în total 16 capete şi 50 de picioare.
(2p)   a) Stabilește dacă este posibil să fie 13 oi. Justifică răspunıul.
(3p)   b) Determină numărul rațelor din curte.

Se consideră numerele
$a=(-2)^{11}: 2^8+5^{33}: 25^{16}+2024^0~$ și
$b=\left(1+\frac{1}{3}-\frac{5}{2}\right):\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right).$
(2p) a) Arată că $~a=-2.$
(3p) b) Calculează $~(a+b+a \cdot b)^{2025}.$

În figura alăturată, $~A B C D~$ este paralelogram. Punctele $~E~$ şi $~F~$ sunt simetricele punctului $~A~$ față de $~B,~$ respectiv $~D.$

(2p) a) Arată că patrulaterul $~B C F D~$ este un paralelogram.
(3p) b) Demonstrează că punctele $~C, E~$ și $~F~$ sunt coliniare.