Test Evaluare Națională – Clasele V-VII – Subiectul III

Aflat în concediu, domnul Ionescu și-a împărțit banii astfel: $~40 \%~$ din sumă pentru cazare, $~75 \%~$ din rest pentru mâncare, iar ceilalți 375 de lei pentru alte cheltuieli.
(2p) a) Suma pentru cazare este mai mare decât suma stabilită pentru mâncare? Justifică răspunsul.
(3p) b) Determină suma inițială pe care a avut-o domnul Ionescu.

Se consideră numerele
$x=\left(\frac{6}{\sqrt{63}}-\frac{4}{\sqrt{112}}+\frac{6}{\sqrt{28}}\right) \cdot\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)^{-1}~$
și $~y=2^{3^3} \cdot 4^3: 8^{10}.$
(2p)   a) Arată că $~x=2.$
(3p)   b) Demonstrează că media geometrică a numerelor $~x~$ şi $~y~$ este număr natural pătrat perfect.

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $~A B C D~$ cu $~A B=8 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}~$ și înălțimea $~D E=3 \mathrm{~cm}, E \in(A B).$

(2p) a) Arată că $~D F=4 \mathrm{~cm},~$ unde $~D F \perp B C, F \in B C.$
(3p) b) Dacă $~F G \perp C D, G \in C D,~$ demonstrează că semidreapta $~B G~$ este bisectoarea unghiului $~A B C.$

Se consideră numerele
$a=(-2)^{11}: 2^8+5^{33}: 25^{16}+2024^0~$ și
$b=\left(1+\frac{1}{3}-\frac{5}{2}\right):\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right).$
(2p) a) Arată că $~a=-2.$
(3p) b) Calculează $~(a+b+a \cdot b)^{2025}.$

În figura alăturată sunt reprezentate două triunghiuri isoscele $~A B C~$ şi $~A C D~$ cu interioarele disjuncte și $~A B=A C=A D.~$ Unghiurile $~B A C~$ și $~C A D~$ au măsurile egale cu $~36^{\circ},~$ iar paralela prin $~B~$ la $~C D~$ intersectează dreptele $~A C~$ și $~A D~$ în punctele $~F,~$ respectiv $~E.$

(2p) a) Demonstrează că dreptele $~B D~$ și $~A C~$ sunt perpendiculare.
(3p) b) Arată că triunghiul $~A B F~$ este isoscel.

Fie $~A B C D~$ un patrulater convex cu $~A B=A C=A D, D C=6 \mathrm{~cm}, \sphericalangle A B C=75^{\circ}~$ și $~\sphericalangle B A D=90^{\circ}.~$ Notăm cu $~G_1~$ și $~G_2~$ centrele de greutate ale triunghiurilor $~A D C,~$ respectiv $~A B C.$

(2p)   a) Demonstrează că $~\mathscr{A} _ { A D C }=9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^2.$
(3p)   b) Arată că $~G_1 G_2=2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}.$