Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul isoscel $~A B C,~$ cu baza $~B C,~$ având $~A C=6 \mathrm{~cm},~$ $~\sphericalangle B A C=45^{\circ},~$ iar $~B D \perp A C,~$ $~D \in A C.$

$2~p \quad$a) Calculează valoarea raportului $~\frac{\mathscr{A}_{B C D}}{\mathscr{A}_{A B D}};$
$3~p \quad$b) Calculează distanța de la punctul $~D~$ la dreapta $~A B.$

În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $~V A B C.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul laturii $~B C, O~$ este centrul bazei $~A B C, A B=6 \mathrm{~cm}~$ și $~V M=2 \mathrm{~cm}.$

(2p) a) Arată cǎ volumul piramidei este mai mare decât $~5 \mathrm{~cm}^3.$
(3p) b) Determină măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei.

Se dă funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{3}{2} x-0,5.$

(2p)   a) Verifică dacă punctele $~A(-1,-2)~$ şi $~B(5,7)~$ sunt situate pe graficul funcției $~f.$
(3p)   b) Determină punctele de coordonate întregi situate pe segmentul $~A B~$ (fără punctele $~A~$ și $~B~$ ).

Considerăm expresia:
$E(x)=\left[\left(1-\frac{3 x^2}{1-x^2}\right) \cdot \frac{x-1}{2 x+1}-1\right] \cdot \frac{x^2+2 x+1}{x-2}, x \in \mathbb{R} \backslash\left\{-1,-\frac{1}{2}, 0,1,2\right\}.$
(2p) a) Arată că $~E(x)=x+1,~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\left\{-1,-\frac{1}{2}, 0,1,2\right\}.$
(3p) b) Calculează $~E(10)+E(11)+\ldots+E(20).$

Împărțind numărul natural $~n~$ la $~18~$ și la $~24,~$ se obțin câturi nenule și resturile $~11,~$ respectiv $~17.$
$2~p \quad$a) Este posibil ca $~n~$ să fie egal cu $~137$? Justifică răspunsul.
$3~p \quad$b) Determină cel mai mic număr natural $~n~$ cu proprietatea din enunț.

În figura alăturată, triunghiul $~A B C~$ este echilateral, $~M~$ este un punct pe arcul mic $~B C~$ al cercului circumscris triunghiului $~A B C,~$ iar $~D~$ este situat pe segmentul $~A M~$ astfel încât $~M D=M C.$

(2p)   a) Arată că triunghiul $~M D C~$ este echilateral.
(3p)   b) Demonstrează că $~M A=M B+M C.$