Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

În figura alăturată, $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ este $~o~$ prismă patrulateră regulată, iar $~M~$ este mijlocul muchiei $~B^{\prime} C^{\prime}.~$ Se știe că $~A B=8 \mathrm{~cm}~$ și $~B M=5 \mathrm{~cm}.$

(2p)   a) Determină aria totală a prismei.
(3p)   b) Demonstrează că distanța de la punctul $~M~$ la planul $~B D D^{\prime}~$ este egală cu $~2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}.$

Se consideră expresiile
$E_1(x)=(x-3)^2-(x+1)^2~$ şi
$E_2(x)=(x+4)^2-(x-2)^2,~$ unde $~x~$ este număr real.
(2p)   a) Arată că $~E_2(x)=12(x+1),~$ pentru orice număr real $~x.$
(3p)   b) Dacă $~n~$ este număr natural impar, demonstrează că $~E_1(n)+E_2(n)~$ se divide cu 8.

În figura alăturată este reprezentată o terasă $~A B E C D,~$ unde $~A B C D~$ este un dreptunghi, iar $~B C E~$ este un triunghi echilateral. Segmentele $~A C, A E~$ şi $~B C~$ reprezintă niște pereți despărțitori, iar $~\{P\}=A E \cap B C.~$ Se știe că $~A B=8 \mathrm{~m},~$ iar pereții $~A C~$ și $~C E~$ sunt perpendiculari.

(2p)   a) Calculează suprafața terasei.
(3p)   b) Arată că distanța dintre punctele $~B~$ și $~P~$ este mai mică de $~2,8 \mathrm{~m}.$

În figura alăturată sunt reprezentate schematic două turnuri $~A B~$ și $~C D.~$ Din punctul $~P,~$ mijlocul segmentului $~A C,~$ cele două turnuri se văd sub unghiurile $~\sphericalangle A P B=30^{\circ}~$ și $~\sphericalangle C P D=60^{\circ}.~$ Se știe că $~A B~$ și $~C D~$ sunt perpendiculare pe $~A C~$ și $~A B=12 \mathrm{~m}.$

(2p) a) Arată că lungimea segmentului $~A P~$ este mai mică de 21 m.
(3p) b) Calculează înălțimea turnului $~C D.$

Se dă funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+1;~$ graficul său într-un reper cartezian $~x O y~$ este reprezentat în figura alăturată. Punctele $~A~$ și $~B~$ au abscisele 1, respectiv 4 şi sunt situate pe graficul funcţiei $~f.$

(2p) a) Determină coordonatele punctelor $~A~$ şi $~B.$
(3p) b) Notăm cu $~M~$ și $~N~$ proiecțiile pe axa $~O x~$ ale punctelor $~A,~$ respectiv $~B.~$ Calculează aria patrulaterului $~A B N M.$

Se marchează o scrisoare cu 35 de lei, folosind numai timbre de 4 lei și de 9 lei.
(2p) a) Se pot folosi numai timbre de 4 lei?
(3p) b) Câte timbre de 4 lei se folosesc?