Evaluare Națională – Examen 2024 – Subiectul III

Dacă elevii unei clase se așază câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev.
(2p) a) Verifică dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{1}{x^2-3 x+2}+\frac{1}{x-1}\right)~$ $~\cdot~$ $~\left(x^2-4\right),~$ unde $~x~$ este număr real, $~x \neq 1~$ și $~x \neq 2.$
(2p) a) Arată că $~x^2-3 x+2~$ = $~(x-1)(x-2),~$ pentru orice număr real $~x.$
(3p) b) Determină numerele îtregi $~n, n \neq 1~$ și $~n \neq 2,~$ pentru care $~N=\frac{5}{E(n)}~$ este număr natural.

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x-1.$

(2p) a) Arată că $~f(0)+f(1)=0.$
(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $~f~$ intersectează axele $~O x~$ și $~O y~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y~$ în punctele $~A,~$ respectiv $~B.~$ Determină distanța de la punctul $~C\left(-\frac{1}{2}, 0\right)~$ la dreapta $~A B.$

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul isoscel $~A B C~$ cu $~A B=A C.~$ Înălțimea din vârful $~A~$ intersectează latura $~B C~$ în punctul $~D~$ și $~A D=B C.~$ Înălțimea din vârful $~B~$ intersectează latura $~A C~$ în punctul $~E.~$ Înălțimile $~A D~$ și $~B E~$ se intersectează în punctul $~H.$

(2p) a) Arată că unghiurile $~D A C~$ și $~E B C~$ au aceeași măsură.
(3p) b) Demonstrează că $~A H=3 \cdot H D.$

În figura de mai jos este reprezentat cercul de centru $~O,~$ în care $~C D~$ este diametru. Punctul $~B~$ aparține cercului astfel încât dreptele $~B O~$ și $~C D~$ sunt perpendiculare. Punctul $~M~$ aparține arcului mic $~B C,~$ dreptele $~D M~$ și $~B O~$ se intersectează în punctul $~N, D N=2 \cdot M N~$ și $~M N=4 \mathrm{~cm}.$

(2p) a) Arată că măsura unghiului $~C M D~$ este egală cu $~90^{\circ}.$
(3p) b) Calculează aria triunghiului $~D O N.$

În figura de mai jos este reprezentată prisma dreaptă $~A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}~$ cu baza triunghiul echilateral $~A B C,~$ $~A B=12 \mathrm{~cm}~$ și $~A A^{\prime}=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~A B.$

(2p) a) Arată că aria laterală a prismei $~A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}~$ este egală cu $~108 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^2.$
(3p) b) Determină distanța de la punctul $~M~$ la planul $~\left(A^{\prime} B^{\prime} C\right).$