Evaluare Națională – Simulare Națională 2024 – Subiectul III

Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte $~8,~$ câte $~12~$ sau câte $~18~$ îi rămân de fiecare dată $~5~$ cărți.
(2p)  a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă $~53~$ de cărți. Justifică răspunsul dat.
(3p)  b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.

Se consideră expresia $~E(x)=(2 x+3)^2+(x-2)(x+2)-3(1-x)+2$, unde $~x~$ este număr real.
(2p)  a) Arată că $~E(0)=4$.
(3p)  b) Arată că numărul $~N=E(n)+6~$ este divizibil cu $~10,~$ pentru orice număr natural $~n$.

Se consideră numărul natural $~\overline{a b c}~$ cu $~a, b, c~$ cifre nenule, unde $~a=5 \cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)-\frac{2}{3}: \frac{1}{3}~$ și $~b=\left(3 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4\right): 9^4-25^4: 5^7$.
(2p)  a) Arată că $~a=3$.
(3p)  b) Determină numărul $~\overline{a b c},~$ știind că numerele $~\overline{a c}~$ și $~\overline{c b}~$ sunt direct proporționale cu numerele $~4~$ și $~3.$

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic $~A B C$, cu $~\sphericalangle A=90^{\circ}~$ și $~\sphericalangle B=40^{\circ}$. Semidreapta $~B E~$ este bisectoarea unghiului $~A B C$, punctul $~E~$ aparține segmentului $~A C$. Perpendiculara din punctul $~A~$ pe $~B C~$ intersectează dreapta $~B C~$ în punctul $~D$, iar perpendiculara din punctul $~E~$ pe $~B C~$ intersectează dreapta $~B C~$ în punctul $~F$. Dreptele $~B E~$ și $~A D~$ se intersectează în punctul $~M$.

(2p)  a) Arată că măsura unghiului $~E M A~$ este egală cu $~70^{\circ}$.
(3p)  b) Arată că patrulaterul $~A M F E~$ este romb.

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $~A B C D~$ cu $~A B=15 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~P~$ aparține laturii $~A B$, astfel încât $~P B=2 A P~$ și $~O~$ este punctul de intersecție a dreptelor $~A C~$ și $~B D.$

(2p)  a) Arată că lungimea segmentului $~A P~$ este egală cu $~5 \mathrm{~cm}.$
(3p)  b) Determină raportul dintre aria triunghiului $~A N P~$ și aria triunghiului $~D N O$, unde $~N~$ este punctul de intersecție a dreptelor $~A C~$ și $~D P.$

În figura alăturată este reprezentat cubul $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Punctele $~M, N, P~$ și $~Q~$ sunt mijloacele segmentelor $~A A^{\prime}, A^{\prime} D^{\prime}, D D^{\prime}$, respectiv $~A D.$

(2p)  a) Arată că $~M N=P Q.$
(3p)  b) Știind că punctul $~T~$ este mijlocul segmentului $~P Q,~$ demonstrează că dreapta $~C T~$ este paralelă cu planul $~(M N B).$