Evaluare Națională – Model Oficial 2022 – Subiectul III

Radu are o pungă cu bomboane. Dacă împarte bomboanele din pungă în grupe de câte 7,14 , respectiv 21 de bomboane, îi rămân de fiecare dată câte 5 bomboane.
(2p) a) Este posibil ca Radu să aibă în pungă 61 de bomboane? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină numărul bomboanelor din pungă, știind că este cel mai mic număr natural de trei cifre care îndeplinește condițiile din enunț.

Se consideră expresia $~E(x)=(x+1)^2~$ - $~(-x-1)^2~$ + $~x^2~$ + $~2 x~$ + $~1,~$ unde $~x~$ este număr real.
(2p) a) Arată că $~E(x)=(x+1)^2,~$ pentru orice număr real $~x.$
(3p) b) Arată că $~E(x) \gt x,~$ pentru orice număr real $~x.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+2.$

(2p) a) Arată că $~f(-1) \cdot f(2019)=2021.$
(3p) b) Determină aria triunghiului delimitat de reprezentarea grafică a funcției $~f~$ și de axele $~O x~$ și $~O y~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y.$

În figura de mai jos este reprezentat un triunghi $~A B C~$ cu $~A B=12 \mathrm{~cm}, B C=9 \mathrm{~cm}~$ și $~A C=15 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~D~$ este simetricul punctului $~B~$ față de mijlocul segmentului $~A C,~$ punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~C D~$ și $~N~$ este punctul de intersecție a dreptelor $~B M~$ și $~A C.$

(2p) a) Demonstrează că $~B N=2 \cdot M N.$
(3p) b) Determină distanța de la punctul $~N~$ la dreapta $~A B.$

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul $~A B C,~$ dreptunghic în $~A,~$ cu măsura unghiului $~A C B~$ de $~15^{\circ}~$ și $~B C=20 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~B C~$ și punctul $~N~$ aparține dreptei $~B C~$ astfel încât dreapta $~A N~$ este perpendiculară pe dreapta $~B C.$

(2p) a) Arată că $~M N=5 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Știind că punctul $~P~$ este simetricul punctului $~A~$ față de dreapta $~B C~$ și că punctul $~Q~$ este simetricul punctului $~M~$ față de punctul $~N,~$ calculează aria patrulaterului $~A M P Q.$

În figura de mai jos este reprezentată o piramidă patrulateră $~V A B C D,~$ cu baza pătratul $~A B C D, \mathrm{cu}~$ $~A B=8 \mathrm{~cm}.~$ Înălțimea $~V O~$ a piramidei are lungimea egală cu $~4 \sqrt{3} \mathrm{~cm},~$ unde $~O~$ este punctul de intersecție a dreptelor $~A C~$ și $~B D.$

(2p) a) Arată că volumul piramidei $~V A B C D~$ este egal cu $~\frac{256 \sqrt{3}}{3} \mathrm{~cm}^3.$
(3p) b) Demonstrează că măsura unghiului planelor $~(V A D)~$ și $~(V B C)~$ este egală cu $~60^{\circ}.$