Evaluare Națională – Examen 2021 – Subiectul III

Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În a doua zi a parcurs cu 6 km mai puțin decât în prima zi, iar în a treia zi $~50 \%~$ din distanța parcursă în primele două zile.
(2p) a) Este posibil ca distanța parcursă de turist în primele două zile să reprezinte $~50 \%~$ din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Știind că turistul a parcurs în a treia zi 9 km, determină lungimea traseului parcurs în prima zi.

Se consideră expresia
$E(x)=(2 x-1)^2-(2 x-4)(x+2)+(x+3)^2,~$ unde $~x~$ este număr real.
(2p) a) Arată că $~E(x)=3 x^2+2 x+18,~$ pentru orice număr real $~x.$
(3p) b) Demonstrează că numărul natural $~A=E(n)+n~$ este multiplu de 6 , pentru orice număr natural $~n.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-2.$

(2p) a) Arată că $~f(3)-f(-3)=6.$
(3p) b) În sistemul de axe ortogonale $~x O y,~$ determină distanța de la punctul $~C(-2,0)~$ la reprezentarea grafică a funcției $~f.$

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul echilateral $~A B C,~$ cu $~A B=3 \mathrm{~cm}~$ și înălțimea $~A D,~$ unde punctul $~D~$ se află pe latura $~B C.~$ Punctul $~M~$ aparține laturii $~A B,~$ astfel încât $~A M=1 \mathrm{~cm}.~$ Paralela prin punctul $~M~$ la dreapta $~A C~$ intersectează dreapta $~A D~$ în punctul $~Q~$ şi dreapta $~B C~$ în punctul $~P.$

(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $~B M P~$ este egal cu 6 cm.
(3p) b) Determină lungimea segmentului $~P Q.$

5. Se consideră trapezul isoscel $~A B C D, \mathrm{cu}~$ $~A B \| C D,~$ măsura unghiului $~A D C~$ este egală cu $~120^{\circ}~$ și $~A D=D C=6 \mathrm{~cm}.~$ Dreapta $~M P~$ este mediatoarea segmentului $~B C,~$ unde punctul $~M~$ aparține dreptei $~A B~$ și punctul $~P~$ aparține dreptei $~B C.$

(2p) a) Arată că $~A B=12 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Demonstrează că dreptele $~D M~$ și $~M P~$ sunt perpendiculare.

6. Se consideră cubul $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime},~$ cu $~A B=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}.$

(2p) a) Arată că volumul cubului $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ este egal cu $~432 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^3.$
(3p) b) Determină distanța de la punctul $~O~$ la planul $~\left(B D D^{\prime} \right),~$ unde $~O~$ este punctul de intersecție a dreptelor $~A D^{\prime}~$ și $~A^{\prime} D.$