Evaluare Națională – Model Oficial 2024 – Subiectul III

Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit $~20 \%~$ din întreaga sumă, în a doua zi $~30 \%~$ din suma rămasă, în a treia zi cu 20 de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii 44 de lei.
(2p) a) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{x}{9+3 x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3 x}\right)~$ : $~\left(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}-2\right),~$ unde $~x~$ este un număr real, $~x \neq-3,~$ $~x \neq 0~$ și $~x \neq 3.$
(2p) a) Arată că $~\frac{x}{9+3 x}~$ - $~\frac{2}{x+3}~$ + $~\frac{3}{x^2+3 x}~$ = $~\frac{(x-3)^2}{3 x(x+3)},~$ pentru orice număr real $~x, x \neq-3~$ și $~x \neq 0.$
(3p) b) Determină numărul natural $~n~$ pentru care $~5 \cdot E(n)~$ este număr natural.

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+2.$
(2p) a) Arată că 2023 $~f(-2)=0.$
(3p) b) Punctele $~A~$ și $~B~$ sunt punctele de intersecție a reprezentării geometrice a graficului funcției $~f~$ cu axele $~O x,~$ respectiv $~O y,~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y,~$ iar punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~A B.~$ Arată că punctele $~N, O~$ și $~M~$ sunt coliniare, unde $~N(3,-3).$

În figura de mai jos este reprezentat dreptunghiul $~A B C D~$ cu $~A B=12 \mathrm{~cm}~$ și $B C=9 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~E~$ aparține segmentului $~A C,~$ astfel încât $~A E=10 \mathrm{~cm}.~$ Prin $~E~$ se duc dreptele $~Q N~$ și $~P M~$ paralele cu dreptele $~A B,~$ respectiv $~B C.~$ Punctele $~M,~$ $~N,~$ $~P~$ și $~Q~$ aparțin segmentelor $~A B, B C, C D~$ și respectiv $~A D.$

(2p) a) Arată că $~A C=15 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Arată că aria patrulaterului $~A M E Q~$ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului $~C N E P.$

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul $~A B C,~$ dreptunghic în $~B,~$ cu $~A B=2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, B C=2 \sqrt{6} \mathrm{~cm}~$ și triunghiul dreptunghic isoscel $~A E B~$ cu $~A E=E B.~$ Punctele $~E~$ și $~C~$ sunt de aceeași parte a dreptei $~A B.$

(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $~A B C~$ este egal cu $~2 \sqrt{2}(3+\sqrt{3}) \mathrm{cm}.$
(3p) b) Calculează distanța de la punctul $~E~$ la dreapta $~A C.$

În figura de mai jos este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime \prime} D^{\prime}~$ cu $~A B=A A^{\prime}=4 \mathrm{~cm}~$ și $~B C=2 \mathrm{~cm}.$

(2p) a) Arată că aria totală a paralelipipedului dreptunghic $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ este egală cu $~64 \mathrm{~cm}^2.$
(3p) b) Arată că dreapta $~N P~$ este paralelă cu planul $~\left(A C D^{\prime}\right),~$ unde punctul $~N~$ este proiecția punctului $~C^{\prime}~$ pe dreapta $~B^{\prime} D^{\prime}~$ și punctul $~P~$ este proiectia punctului $~C^{\prime}~$ pe dreapta $~C B^{\prime}.$