Evaluare Națională – Varianta Rezervă 2023 – Subiectul III

La ora de geometrie, fiecare dintre cei 25 de elevi ai unei clase a desenat pe caiet fie un triunghi, fie un patrulater.
(2p) a) Este posibil ca exact 7 elevi să fi desenat câte un triunghi și numărul total de laturi desenate de cei 25 de elevi să fie egal cu 90 ? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină numărul de elevi care au desenat câte un patrulater, știind că numărul total de laturi ale figurilor geometrice desenate de elevii clasei este egal cu 91.

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}\right)~$ : $~\frac{2 x+1}{x^2+3 x+2},~$ unde $~x~$ este număr real, $~x \neq 0, x \neq-1,~$ $~x \neq-2~$ și $~x \neq-\frac{1}{2}.$
(2p) a) Arată că $~x^2+3 x+2~$ = $~(x+1)(x+2),~$ pentru orice număr real $~x.$
(3 p) b) Dacă $~n~$ este număr natural par, nenul, arată că numărul $~N=\frac{1}{E(n)}~$ este natural.

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{3}-1.$

(2p) a) Arată că $~f(3)+f(9)=2.$
(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $~f~$ intersectează axele $~O x~$ și $~O y~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y~$ în punctele $~M,~$ respectiv $~N.~$ Calculează distanța de la punctul $~O~$ la reprezentarea geometrică a graficului funcției $~f.$

În figura de mai jos sunt reprezentate triunghiurile echilaterale $~A B C~$ și $~C D E,~$ cu $~A B=8 \mathrm{~cm},~$ $~C D=4 \mathrm{~cm},~$ iar punctele $~B,~$ $~C~$ și $~D~$ sunt coliniare, în această ordine. Punctele $~M~$ și $~N~$ sunt mijloacele segmentelor $~A B,~$ respectiv $~D E.$

(2p) a) Arată că $~C M=2 \cdot C N.$
(3p) b) Aria triunghiului $~M C N~$ reprezintă $~p \%~$ din aria triunghiului $~A C D.~$ Determină valoarea lui $~p.$

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul $~A B C,~$ cu $~A B=A C=10 \mathrm{~cm}~$ și $~\sphericalangle B A C=120^{\circ}.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~B C~$ și punctul $~S~$ este simetricul punctului $~M~$ față de punctul $~A.$

(2p) a) Arată că $~B C=10 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Demonstrează că distanța de la punctul $~M~$ la dreapta $~S C~$ este mai mică decât 7 cm.

În figura de mai jos este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime},~$ cu $~A B=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm},~$ $~B C=2 \mathrm{~cm}~$ și $~A A^{\prime}=4 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~B C.$

(2p) a) Arată că volumul paralelipipedului dreptunghic $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ este egal cu $~16 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^3.$
(3p) b) Demonstrează că dreapta $~A^{\prime} C~$ este paralelă cu planul $~\left(M A B^{\prime}\right).$