Evaluare Națională – Varianta Rezervă 2024 – Subiectul III

Pentru un concert s-au vândut în total 225 de bilete pentru adulți și copii. Prețul unui bilet pentru adulți a fost de 25 de lei, iar prețul unui bilet pentru copii a fost de 20 de lei. Suma obținută din vânzarea biletelor a fost de 5150 de lei.
(2p) a) Verifică dacă au fost vândute 205 bilete pentru adulți. Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină numărul biletelor pentru copii care au fost vândute.

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right)~$ : $~\frac{x^2+4}{x^2+4 x+4},~$ unde $~x~$ este număr real, $~x \neq-2~$ și $~x \neq 2.$
(2p) a) Arată că $~\frac{2}{x-2}~$ + $~\frac{x}{x+2}~$ = $~\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)},~$ pentru orice număr real $~x, x \neq-2~$ și $~x \neq 2.$
(3p) b) Determină numerele naturale $~n, n \neq 2,~$ pentru care $~N=E(n)-1~$ este număr natural.

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x+2.$
(2p) a) Arată că $~2 \cdot f(1)=f(4).$(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $~f~$ intersectează axele $~O x~$ și $~O y~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y~$ în punctele $~A,~$ respectiv $~B.~$ Determină distanța de la punctul $~M(4,0)~$ la dreapta $~A B.$

În figura de mai jos este reprezentat pătratul $~A B C D.~$ Punctul $~M~$ aparține laturii $~C D,~$ iar paralela prin $~M~$ la dreapta $~A D~$ intersectează latura $~A B~$ în punctul $~N.~$ Bisectoarea unghiului $~A N M~$ intersectează latura $~A D~$ în punctul $~P,~$ iar bisectoarea unghiului $~M N B~$ intersectează latura $~B C~$ în punctul $~Q.$

(2p) a) Arată că măsura unghiului $~P N Q~$ este egală cu $~90^{\circ}.$
(3p) b) Demonstrează că punctele $~P, O~$ și $~Q~$ sunt coliniare, unde $~O~$ este punctul de intersecție a dreptelor $~A C~$ și $~B D.$

În figura de mai jos este reprezentat trapezul $~A B C D~$ cu $~A B \| C D, A B=2 \cdot A D=4 \mathrm{~cm},~$ măsura unghiului $~B A D~$ egală cu $~90^{\circ}~$ și măsura unghiului $~A B C~$ egală cu $~30^{\circ}.~$ In exteriorul trapezului se construiesc pătratele $~A B E F~$ și $~B C H G.$

(2p) a) Arată că $~B C=4 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Demonstrează că patrulaterul $~A E G C~$ este trapez isoscel.

În figura de mai jos este reprezentat cubul $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ cu $~A B=8 \mathrm{~cm}~$ și $~O~$ punctul de intersecție a dreptelor $~A C~$ și $~B D.$

(2p) a) Calculează volumul cubului $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}.$
(3p) b) Determină distanța de la punctul $~O~$ la planul ( $~C M D~$ ), unde punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~A^{\prime} B^{\prime}.$