Cuprins
Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale
Fracții ordinare, fracții zecimale
Media aritmetică (media ponderată)
Partea întreagă a unui număr real
Partea fracționară a unui număr real
Intervale in mulțimea numerelor reale
Media geometrică (proporțională)
MULTIMI NUMERICE
Mulținea numerelor naturale; $\quad \mathbb{N}=\{0,1,2,3, \ldots\}, \quad \mathbb{N}^*=\mathbb{N} \backslash\{0\}$.
Mulțimea numerelor intregi; $\quad \mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2, \ldots\}, \quad \mathbb{Z}^*=\mathbb{Z} \backslash\{0\}$.
$\mathbb{Z}_+=\{x \in \mathbb{Z} \mid x \gt 0\} ; \quad \mathbb{Z}_-=\{x \in \mathbb{Z} \mid x \lt 0\}$.
$\ldots \underbrace{\begin{array}{llll}-4 & -3 & -2 & -1\end{array}}_{\text {numere intregi negative}(\mathrm{Z}_- )},~~~0~, \underbrace{\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4\end{array}}_{\text {numere intregi pozitive }(\mathrm{Z}_+ )} \ldots$
Mulțimea numerelor rationale: $\quad \mathbb{Q}=\{\large \frac{a}{b} \normalsize \rvert\, a \in \mathbb{Z}$ şi $ b \in \mathbb{Z}^* \},$ $\quad \mathbb{Q}^*=\mathbb{Q} \backslash \{0\};$ $\quad \mathbb{Q}_+={x \in \mathbb{Q} \mid x \gt 0};$ $\quad \mathbb{Q}_-={x \in \mathbb{Q} \mid x \lt 0}$.
$\mathbb{R}$-multimea numerelor reale, $\mathbb{R}^*=\mathbb{R} \backslash{0}$.
$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}=$ mulțimea numerelor iraționale.
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
OPERAȚII CU MULȚIMI
Reuniunea: $A \cup B={x \mid x \in A$ sau $x \in B}$.
Intersecția: $A \cap B={x \mid x \in A$ şi $x \in B}$.
Diferența: $A \backslash B={x \mid x \in A$ și $x \notin B}$.
OPERATII CU NUMERE
Factor comun: $f \cdot a \pm f \cdot b=f \cdot(a \pm b), \forall a, b, f \in \mathbb{R}$.
$1+2+3+\ldots+n=\frac{(1+n) \cdot n}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^*$. $\quad n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n, \forall n \in \mathbb{N}^*($ citim: “$n$ factorial” $);~ 0!=1$.
Opusul numărului real $r$ este numărul real $-r$.
Inversul numărului real nenul $r$ este numărul real $r^{-1}=\frac{1}{r}$.
TEOREMA ÎMPĂRŢIRII CU REST
În $\mathbb{N}: \forall a, b \in \mathbb{N},~ b \neq 0, ~\exists!~c, ~r \in \mathbb{N}$ astfel încât $a=b \cdot c+r, ~0 \leq r \lt b$.
În $\mathbb{Z}: \forall a, b \in \mathbb{Z}, ~b \neq 0, ~\exists!~c \in \mathbb{Z}, ~r \in \mathbb{N}$ astfel incât $a=b \cdot c+r, ~0 \leq r \lt |b|$.
DIVIZIBILITATE ÎN $\mathbb{N}$
Pentru $d, m \in \mathbb{N}$ spunem cā $d \mid m$ dacă existã $x \in \mathbb{N}$ astfel încât $m=d \cdot x$.
Proprietăți:
$P_1$: $1|n ; n| 0, \forall n \in \mathbb{N};$
$P_2$ : Dacã $a, d \in \mathbb{N}$ şi $d \mid a$, atunci $d \mid a \cdot n, \forall n \in \mathbb{N}$;
$P_3$ : Dacă $a, b, d \in \mathbb{N}, d \mid a$ şi $d \mid b$, atunci $d \mid(a \pm b)$.
Criterii de divizibilitate:
I. Folosind ultima cifră a numărului: $2|n \Leftrightarrow u(n) \in{0,2,4,6,8} ; ~5| n \Leftrightarrow u(n) \in\{0,5\} ;~ 10 \mid n \Leftrightarrow u(n)=0$.
II. Folosind suma cifrelor numãnului: $3|n \Leftrightarrow 3| S(n) ;~ 9|n \Leftrightarrow 9| S(n)$.
III. Folosind ultimele două cifre ale numărului: $4|\overline{a . . x y} \Leftrightarrow 4| \overline{x y} ; ~25|\overline{a . . x y} \Leftrightarrow 25| \overline{x y}$.
Număr prim: număr natural care are exact doi divizori.
C.m.m.d.c.: $d=(a, b)$ dacă: i) $d \mid a$ şi $d \mid b$;
ii) dacă $d^{\prime} \mid a$ şi $d^{\prime} \mid b$, atunci $d^{\prime} \mid d$.
Pentru a calcula ( $a, b$ ) procedăm astfel:
- descompunem numerele $a$ şi $b$ in factori primi;
- luàm factorii primi comuni, o singură dată, la exponentul cel mai mic şi îi înmulțim.
Numerele $a$ şi $b$ sunt relativ prime (prime între ele) dacă $(a, b)=1$.
Dacă $d=(a, b)$, atunci $a=d x, b=d y, \operatorname{cu} x, y \in \mathbb{N},(x, y)=1$.
Dacă $n \mid a$ şi $n \mid b$, atunci $n \mid(a, b)$.
Dacă $a \mid b \cdot c$ şi $(a, b)=1$, atunci $a \mid c$.
C.m.m.m.c.: $m=[a, b]$ dacă: i) $a \mid m$ şi $b \mid m$;
ii) dacă $a \mid m^{\prime}$ şi $b \mid m^{\prime}$, atunci $m \mid m^{\prime}$.
Pentru a calcula $[a, b]$ procedăm astfel:
- descompunem numerele $a$ şi $b$ în factori primi;
- luăm factorii primi comuni şi necomuni, o singură dată, la exponentul cel mai mare și îi înmulțim.
Dacă $a \mid n$ şi $b \mid n$, atunci $[a, b] \mid n$.
Oricare ar fi $a, b \in \mathbb{N}$, are loc egalitatea $(a, b) \cdot[a, b]=a \cdot b$.
PUTERI
$a^n=\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{d \in n \text { on }}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*;$ $\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n}, a \in \mathbb{R}^*, n \in \mathbb{N}.$
$a^0=1, \forall a \in \mathbb{R}^* ; ~a^1=a, \forall a \in \mathbb{R} ; ~1^n=1, \forall n \in \mathbb{N} ; ~0^0$ nu are sens.
OPERAȚII CU PUTERI
- $a^m \cdot a^n=a^{m+n}, \forall a \in \mathbb{R}^*, m, n \in \mathbb{Z}$.
- $a^m: a^n=a^{m-n}, \forall a \in \mathbb{R}^*, m, n \in \mathbb{Z}$.
- $\left(a^m\right)^n=a^{m n}, \forall a \in \mathbb{R}^*, m, n \in \mathbb{Z}$.
- $(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n, \forall a, b \in \mathbb{R}^*, n \in \mathbb{Z}$.
- $(a: b)^n=a^n: b^n, a, b \in \mathbb{R}^*, n \in \mathbb{Z}$.
- $(-1)^n=\left \{\begin{array}{l}1, \text { dacă } n \text { este număr par; } \\ -1, \text { dacă } n \text { este număr impar. }\end{array}\right.$
FRACȚII ORDINARE, FRACȚII ZECIMALE
Fracție ireductibilă: $\frac{a}{b}, \operatorname{cu} a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0,(a, b)=1 . \quad$ Fracţii echivalente: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ dacă $a \cdot d=b \cdot c$. Dacă $a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*$, atunci $\left.\frac{a}{b} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b \right\rvert\, a$.
Transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare:
\begin{array}{|l|l|l|}
\hline \text{Tipul fracției zecimale} & \text{Mod de transformare} & \text{Exemplu} \\
\hline \text{zecimală finită} & \overline{a, b_1 b_2 \ldots b_k}=a \overline{\frac{b_1 b_2 \ldots b_k}{10^k}}& 2,79=2 \frac{79}{10^2}=\frac{279}{100}\\
\hline \text{periodică simplă} & \overline{a,\left(b_1 b_2 \ldots b_k\right)}=a \overline{\overline{b_1 b_2 \ldots b_k}} \frac{\underbrace{99 \ldots 9}_{k \text { or }}}{c_k}& 13,(24)=13 \frac{24}{99} \\
\hline \text{periodică mixtă} & \overline{a, b_1 b_2 \ldots b_k\left(c_1 c_2 \ldots c_p\right)}=a \overline{\overline{b_1 b_2 \ldots c_p}-\overline{b_1 b_2 \ldots b_k}} \underbrace{99^{\ldots}
\underbrace{00 \ldots 0}_{k \text { on }}}_{p \text { on }}& 3,61(754)=3 \frac{61754-61}{99900}\\
\hline
\end{array}
MEDIA ARITMETICĂ
$m_a=\frac{x_1+x_2}{2} ; m_a=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_k}{k}, \forall x_1, x_2, \ldots, x_k \in \mathbb{R}$
Dacă $p_1, p_2, \ldots, p_k$ sunt respectiv ponderile numerelor $x_1, x_2, \ldots, x_k$, atunci: $m_p=\large \frac{x_1 p_1+x_2 p_2+\ldots+x_k p_k}{p_1+p_2+\ldots+p_k}$ (media aritmetică ponderată).
MODULUL UNUI NUMĂR REAL
$|x|$-modulul (sau valoarea absolută) a unui număr real; $|x|=\left \{\begin{array}{l}x \text {, dacă } x \geq 0 \\ -x \text {, dacă } x \lt 0\end{array}\right.$.
Proprietăti ale modulului:
$P_1:|x| \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} ;|x|=0 \Leftrightarrow x=0 ;$
$P_2:|x \cdot y|=|x| \cdot|y|, \forall x, y \in \mathbb{R} ;$
$P_3:\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}, \forall x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}^* ;$
$P_4:|x+y| \leq|x|+|y|, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
PARTEA ÎNTREAGĂ A UNUI NUMĂR REAL: $[x]$
$[x] \leq x \lt [x]+1 ;[x] \in \mathbb{Z}$
PARTEA FRACŢIONARĂ A UNUI NUMĂR REAL: ${x}$
${x}=x-[x] ; 0 \leq{x} \lt 1$
RĂDĂCINA PĂTRATĂ (RADICALUL)
$\sqrt{a}=x \Leftrightarrow x^2=a \text {, unde } a, x \in \mathbb{R}, a, x \geq 0 \text {. }$
REGULI DE CALCUL CU RADICALI
- Dacă $a \geq 0, b \geq 0$, atunci $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}$.
- Dacã $a \geq 0, b \gt 0$, atunci $\sqrt{a}: \sqrt{b}=\sqrt{a: b} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.
- $\sqrt{a^2 b}=a \sqrt{b}, a \geq 0, b \geq 0$.
- $\sqrt{a^2}=|a|, a \in \mathbb{R} ; \sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2=a$, dacă $a \in \mathbb{R}+\sqrt{a^2 b}=|a| \sqrt{b}, a \in \mathbb{R}, b \geq 0$.
RAŢIONALIZAREA NUMITORULUI
- $\frac{\sqrt{b}) c}{a \sqrt{b}}=\frac{c \sqrt{b}}{a \cdot b}, b \gt 0, a \neq 0$.
- $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}, \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}) c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}, a \gt 0, b \gt 0, a \neq b$.
- $\frac{n}{a \sqrt{b} \pm c \sqrt{d}}=\frac{n(a \sqrt{b} \mp c \sqrt{d})}{a^2 \cdot b-c^2 \cdot d}, b \gt 0, d \gt 0, a \neq 0, c \neq 0$ şi $a^2 b \neq c^2 d$.
FORMULA RADICALILOR COMPUŞI
$\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-c}{2}}$, unde $c=\sqrt{a^2-b}$.
INTERVALE ÎN $\mathbb{R}$
$$
\begin{array}{ll}
\hline (a ; b)=\{x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \lt b\}; \quad (a ; b]=\{x \in \mathbb{R} \mid a \lt x \leq b\}; & {[a ; b]=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}; \quad [a ; b)=\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \lt b\}} \\
\hline {[a ;+\infty)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}; \quad (a ;+\infty)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \gt a\};} & (-\infty ; a)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \lt a\}; \quad (-\infty ; a]=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq a\} \\
\hline \quad \{x \in \mathbb{R}||x| \leq a\}=[-a ; a]; & \quad \{x \in \mathbb{R}||x| \geq a\}=(-\infty ;-a] \cup[a ;+\infty).
\end{array}
$$
FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT
- $(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2$.
- $(a-b)^2=a^2-2 a b+b^2$.
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
MEDIA GEOMETRICĂ (PROPORŢIONALĂ)
$m_g=\sqrt{a \cdot b}, a \geq 0, b \geq 0$
$a \leq m_g \leq m_a \leq b$, pentru $0 \leq a \leq b$ (inegalitatea mediilor).
Înapoi la cuprins
PRODUSUL CARTEZIAN
$A \times B={(x, y) \mid x \in A \text { si } y \in B}.$
Dacǎ alegem în plan un sistem de coordonate $x O y$, putem identifica elementele produsului cartezian $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ cu punctele planului. Oricărei perechi ordonate de numere reale ( $x_A, y_A$ ) ii corespunde un unic punct $A\left(x_A, y_A\right)$; $x_A$ se numeşte abscisa punctului $A$, iar $y_A$ se numește ordonata punctului $A$.
Distanta dintre două puncte $A\left(x_A, y_A\right)$ și $B\left(x_B, y_B\right)$ se calculează după formula: $A B=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}$.
Coordonatele mijlocului segmentului $A B$ sunt: $x_M=\frac{x_A+x_B}{2} ; y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.
FUNCȚII
Fie $A$ şi $B$ două mulțimi nevide. Dacă printr-un procedeu oarecare facem ca fiecărui element din mulțimea $A$ să corespundă un singur element din mulțimea $B$, atunci spunem că am definit o funcție de la $A$ la $B$.
$f: A \rightarrow B ; A$-domeniul de definiție; $B$ – codomeniul.
Graficul unei funcții: $G_f={(x, y) \in A \times B \mid x \in A, y=f(x)}$.
$M(x, y) \in G_f \Leftrightarrow f(x)=y, \operatorname{cu} x \in A, y \in B$.
Funcțiile $f: A \rightarrow B$ şi $g: C \rightarrow D$ sunt egale dacă $A=C, B=D$ şi $f(x)=g(x), \forall x \in A$.
Înapoi la cuprins
FUNCȚIA DE GRADUL I
Este o funcție $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definită prin $f(x)=a x+b$, unde $a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0$.
Graficul unei asemenea funcții este o dreaptă oblică.
$\left.\begin{array}{l}G_f \cap O_y=\{A(0 ; b)\} \\ G_f \cap O_x=\left \{B\left(-\frac{b}{a} ; 0\right)\right \}\end{array}\right \}$ Punctele de intersectie a graficului cu axele de coordonate.
Dacă $a=0$, atunci $f(x)=b$ (funcția este constantă); graficul este o dreaptă orizontală.
ECUAŢIA DE GRADUL AL II-LEA
Forma generalã: $a x^2+b x+c=0$, unde $a \in \mathbb{R}^*, b, c \in \mathbb{R}$. Discriminantul ecuației: $\Delta=b^2-4 a c$.
Dacă $\Delta \gt 0$, ecuația are două soluții reale distincte: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}$.
Dacă $\Delta=0$, cele două soluții sunt egale: $x_1=x_2=-\frac{b}{2 a}$.
Dacă $\Delta \lt 0$, ecuatia nu are soluții reale.
Pentru $\Delta \geq 0$, expresia $a x^2+b x+c$ se descompune în factori astfel: $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.