Test “Combinatorică”

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
Număr submulțimi = $C_4^2 + C_4^3 + C_4^4$.
$C_4^2 = 6$.
$C_4^3 = 4$.
$C_4^4 = 1$.
Total = $6 + 4 + 1 = 11$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
Numărul funcțiilor injective de la o mulțime cu $m$ elemente la una cu $n$ elemente este $A_n^m$.
$A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
$n(n-1)(n-2) = 12n$.
Împărțim prin $n$: $(n-1)(n-2) = 12$.
$n^2 - 3n + 2 = 12 \Rightarrow n^2 - 3n - 10 = 0$.
Soluțiile sunt $n=5$ și $n=-2$. Convene $n=5$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
Contează ordinea și cifrele sunt distincte, deci folosim aranjamente.
$A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
Ordinea nu contează (meciul A vs B e același cu B vs A).
$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare: $\large\frac{(x+1)x}{2} = 21 \Rightarrow x(x+1) = 42$.
$6 \cdot 7 = 42$. Deci $x=6$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare: Coeficientul binomial maxim pentru $n$ par este cel de mijloc, $C_n^{n/2}$. Deci $C_{10}^5$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare: $T_{k+1} = C_{10}^k x^{-1(10-k)} (x \sin \alpha)^k = C_{10}^k x^{-10+k+k} (\sin \alpha)^k$.
$2k-10=0 \Rightarrow k=5$.
Termenul este $C_{10}^5 (\sin \alpha)^5$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
Elementele sunt de forma $\{k, k+1, c\}$, unde $c > k+1$.
$k$ poate lua valori de la 1.
Dacă $k=1$, submulțimea este $\{1, 2, c\}$, unde $c \in \{3, \dots, 20\}$. (18 valori).
Dacă $k=2$, submulțimea este $\{2, 3, c\}$, unde $c \in \{4, \dots, 20\}$. (17 valori).
...
Ultimul $k$ posibil: Trebuie să mai existe un $c$. $k+1 < 20 \Rightarrow k < 19$.
Dacă $k=18$, submulțimea este $\{18, 19, 20\}$. (1 valoare).
Numărul total este $18 + 17 + \dots + 1 = \large\frac{18 \cdot 19}{2} = 9 \cdot 19 = 171$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
Numărul triunghiurilor: $C_n^3$.
Numărul segmentelor: $C_n^2$.
Ecuația: $C_n^3 = C_n^2 \cdot \large\frac{n-3}{3}$.
$\large\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \large\frac{n(n-1)}{2} \cdot \large\frac{n-3}{3}$.
Înmulțim cu 6 și simplificăm prin $n(n-1)$ (pentru $n \ge 3$):
$n-2 = 1 \cdot (n-3)$.
$n-2 = n-3 \Rightarrow -2 = -3$ (Fals).
Ecuația nu are soluții.