Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII

Subiectul I

Inversul numărului $~12,~$ scris sub formă de fracție zecimală, este egal cu:

Elevii claselor de liceu ai unui Colegiu Național au distribuția pe clase conform tabelului de mai jos.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline \text { Clasa } & \text { a IX-a } & \text { a X-a } & \text { a XI-a } & \text { a XII-a } \\
\hline \text { Procentul } & 20 \% & 25 \% & 25 \% & 30 \% \\
\hline
\end{array}
$$
Dacă în clasa a XII-a sunt $~324~$ elevi, atunci la clasa a IX-a numărul elevilor este egal cu:

Media aritmetică a trei numere este $~7.~$ Unul dintre numere este egal cu $~7.~$ Media aritmetică a celorlalte două numere este egală cu:

Se consideră ecuația $~x^2-3 x+m=0,~$ având necunoscuta $~x.~$ Una dintre soluṭiile ecuației este $~x_1=1.$
Cea de-a doua soluṭie a ecuației este:

Numărul natural care reprezintă $~15 \%~$ din $~400~$ este egal cu:

Ionuț și tatăl lui au împreună $~53~$ de ani. Ionuț afirmă: „Peste doi ani vom avea împreună 55 ani.”
Afirmația lui Ionuț este:

Subiectul II

În figura de mai jos sunt reprezentate punctele coliniare $~A,~$ $~B,~$ $~M,~$ $~C~$ și $~D,~$ astfel încât $~A C=B D,~$ iar $~M~$ este mijlocul segmentului $~B C.$
Dacă $~A B=2 \mathrm{~cm}~$ și $~M C=3 \mathrm{~cm},~$ lungimea segmentului $~A D~$ este egală cu:

În figura de mai jos, dreptele $~A C~$ și $~B D~$ sunt concurente în punctul $~O.$
Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $~A O D~$ şi $~B O C~$ este egală cu:

Punctele $~M~$ și $~N~$ sunt mijloacele catetelor $~A B~$ și $~A C~$ ale triunghiului dreptunghic $~A B C.~$ Se stie că $~M N=5 \mathrm{~cm},~$ iar perimetrul triunghiului $~A M N~$ este $~12 \mathrm{~cm}.$
Perimetrul patrulaterului $~B C N M~$ este:

În figura de mai jos este reprezentat rombul $~A B C D,~$ cu $~A C=12 \mathrm{~cm}~$ și $~\sphericalangle A B C=120^{\circ}.$
Aria rombului este egală cu:

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul dreptunghic $~A B C,~$ unde $~\sphericalangle A=90^{\circ}~$ și $~\sphericalangle B=2 \sphericalangle C,~$ $~A C=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}~$ și semidreapta $~B M~$ este bisectoarea unghiului $~\sphericalangle A B C.$
Dacă punctul $~N~$ este simetricul punctului $~M~$ față de dreapta $~B C,~$ atunci aria patrulaterului $~B M C N~$ este egală cu:

O bilă sferică are raza de $~6 \mathrm{~cm}~$ și cântāreşte $~4320 \mathrm{~g}.~$ Se topește bila și, folosind tot materialul obținut, se fabrică bile mai mici, având raza de $~1 \mathrm{~cm}.$
Masa unei bile mici este:

Subiectul III

Fie $~a, b~$ şi $~c~$ trei numere întregi, astfel încât $~2 a+3 b+1=0~$ și $~4 b-5 c-2=0.$

(2p) a) $~8 a+15 c=?$

(3p) b) Determină $~a~$ și $~b,~$ știind că $~c=2.$

Se considerã expresia
$E(x)=\left(x-1+\displaystyle \frac{1}{x+1}\right):\left(\displaystyle \frac{1}{x}-\displaystyle \frac{1}{x+1}\right)-x,~$ unde $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,0\}.$
(2p) a) Arată că $~E(x)=x^3-x,~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-1,0\}.$
(3p) b) Demonstrează că numărul natural $~E(n)~$ este divizibil cu 6, pentru orice $~n \in \mathbb{N}^*.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\displaystyle \frac{x}{2}+1.$

(2p)   a) Calculează $~f(-1) \cdot f(2).$
(3p)   b) Ştiind că $~A~$ si $~B~$ sunt punctele de intersecție dintre graficul funcției $~f~$ și axele $~O x,~$ respectiv $~O y~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y,~$ determină aria triunghiului $~O A B.$

Un tablou, în formă de dreptunghi $~A B C D, A D=6 \mathrm{~cm}, A B=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}~$ este fixat pe un perete printr-un fir de ață $~P M Q,~$ ca în figura alăturată, astfel încât $~A P=P Q=Q D~$ și $~\sphericalangle A P M=\sphericalangle D Q M=120^{\circ}.$

(2p) a) Arată că triunghiul $~M P Q~$ este echilateral.
(3p) b) Demonstrează că punctele $~M, P, B~$ sunt coliniare.

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $~A B C D~$ cu $~A B=8 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}~$ și înălțimea $~D E=3 \mathrm{~cm}, E \in(A B).$

(2p) a) Arată că $~D F=4 \mathrm{~cm},~$ unde $~D F \perp B C, F \in B C.$
(3p) b) Dacă $~F G \perp C D, G \in C D,~$ demonstrează că semidreapta $~B G~$ este bisectoarea unghiului $~A B C.$

În figura alăturată este reprezentată prisma triunghiulară regulată $~A B C A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}.~$ Se știe că $~A B=4 \sqrt{3} \mathrm{~cm}, A A^{\prime}=6 \mathrm{~cm},~$ iar punctul $~M~$ este mijlocul muchiei $~A^{\prime} C^{\prime}.$

(2p)   a) Determină volumul prismei.
(3p)   b) Află distanța de la punctul $~M~$ la planul ( $~B^{\prime} B C~$ ).