Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII

Subiectul I

Suma valorilor cifrei $~x~$ pentru care numărul $~\overline{4 x 1}~$ se divide cu $~3~$ este:

O carte costă $~36~$ de lei. După o ieftinire cu $~20 \%,~$ prețul cărții va fi:

Fie $~a~$ şi $~b~$ două numere întregi, astfel încât $~a \cdot b=-1.~$ Patru colege au scris pe o tablă câte o relație, așa cum se vede în următorul tabel.
$$
\begin{array}{|c|l|}
\hline \text { Ioana } & a+b=0 \\
\hline \text { Mia } & a^2+b^2=1 \\
\hline \text { Alexia } & a+b=2 \\
\hline \text { Mara } & a+b=-2 \\
\hline
\end{array}
$$
Eleva care a scris relația corectă este:

Patru elevi, Andrei, Ioana, Dinu și Alexia, au calculat media aritmetică a numerelor raționale $~\displaystyle \frac{1}{2},~$ $~\displaystyle \frac{3}{4},~$ $~\displaystyle \frac{5}{6}~$ și $~\displaystyle \frac{7}{12}.~$ Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos.

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Andrei} & \text{Ioana} & \text{Dinu} & \text{Alexia} \\
\hline
0,5 & \displaystyle \frac{2}{3} & 0,75 & \displaystyle \frac{5}{6} \\
\hline
\end{array}
$$
Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:

Considerăm rezolvările:
A. $~\sqrt{13^2-5^2}=~$ $~\sqrt{169-25}=~$ $~\sqrt{144}=12;$
B. $~\sqrt{13^2-5^2}=~$ $~\sqrt{13 \cdot 2-5 \cdot 2}=~$ $~\sqrt{26-10}=~$ $~\sqrt{16}=4;$
C. $~\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{(13-5)^2}=\sqrt{8^2}=8;$
D. $~\sqrt{13^2-5^2}=~$ $~\sqrt{13^2}-\sqrt{5^2}=~$ $~13-5=8.$
Dintre rezolvările prezentate, corectă este:

Iulia amestecă $~2 \ell~$ de apă, având temperatura de $~20^{\circ} \mathrm{C},~$ cu $~1 \ell~$ de apă, având temperatura de $~30^{\circ} \mathrm{C},~$ şi spune că a obținut $~3 \ell~$ de apă, având temperatura de $~25^{\circ} \mathrm{C}.~$ Afirmația Iuliei este:

Subiectul II

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul $~A B C,~$ unde dreptele $~a,~$ $~b~$ și $~c~$ sunt mediatoarele laturilor $~B C,~$ $~A C,~$ respectiv $~A B,~$ iar $~a \cap b \cap c=\{M\}.$
Punctul $~M~$ este:

În figura de mai jos sunt reprezentate unghiurile adiacente complementare $~A O B~$ și $~B O C,~$ astfel încât $~\sphericalangle B O C=\displaystyle \frac{1}{4} \sphericalangle A O B,~$ iar semidreapta $~O D~$ este bisectoarea unghiului $~\sphericalangle A O B.$
Măsura unghiului $~\sphericalangle D O C~$ este egală cu:

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul dreptunghic $~ABC,~$ cu $~\sphericalangle BAC=90^{\circ}~$ și $~\sphericalangle C=30^{\circ}.$
Știind că semidreapta $~BM~(M \in AC)~$ este bisectoarea unghiului $~\sphericalangle ABC,~$ iar $~AM=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm},~$ atunci lungimea ipotenuzei $~BC~$ este egală cu:

În figura de mai jos, $~A B C D~$ este un romb cu $~A B=B D.$
Sinusul unghiului $~A~$ este:

În figura de mai jos punctul $~A~$ este situat pe cercul $~\mathscr{C}(O, R),~$ $~R=\sqrt{6} \mathrm{~m},~$ iar punctul $~B~$ este exterior cercului, $~O B=3 \sqrt{2} \mathrm{~m},~$ iar $~A B=2 \sqrt{3} \mathrm{~m}.$
Dreapta $~A B~$ este:

Cu un vas cubic cu latura de $~20 \mathrm{~cm}~$ vrem să cărăm apă pentru a umple un acvariu, având formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $~40 \mathrm{~cm},~$ $~30 \mathrm{~cm}~$ și $~60 \mathrm{~cm}.$
Numărul minim de drumuri pe care le vom face pentru a umple acvariul este:

Subiectul III

Un turist şi-a propus să viziteze, pe un traseu turistic, 52 de obiective în șase zile. În prima zi a vizitat cinci obiective, iar în fiecare dintre zilele următoare mai multe obiective decât în ziua precedentă.
(2p)    a) Poate vizita turistul 10 obiective a doua zi? Justifică răspunsul.
(3p)    b) Care este numărul maxim de obiective pe care le poate vizita turisul a doua zi?

Se consideră expresia
$E(x)=(x+2)^2+(x-3)^2-(x-1)(x+2)-(3 x+7),$
unde $~x \in \mathbb{R}.$
(2p)   a) Calculează $~E(3).$
(3p)   b) Demonstrează că $~E(k)~$ este un număr întreg divizibil cu 8, pentru orice număr întreg par $~k.$

Fie funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(1-\sqrt{2}) x+\sqrt{2}.$

(2p) a) Află media aritmetică a numerelor $~f(0)~$ și $~f(2).$
(3p) b) Determină numerele raționale $~a~$ și $~b,~$ dacă $~A(a \sqrt{2}, b)~$ este situat pe graficul funcției.

În figura alăturată, triunghiul $~A B D~$ este echilateral, iar triunghiul $~B C D~$ este dreptunghic, cu ipotenuza $~B D=10 \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~E~$ este mijlocul segmentului $~A D,~$ iar dreptele $~A B~$ și $~C D~$ sunt paralele.

(2p) a) Demonstrează că triunghiurile $~A B E~$ și $~D B C~$ sunt congruente.
(3p) b) Determină măsura unghiului format de dreptele $~B D~$ şi $~C E.$

În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $~A B C D~$ cu $~A D \| B C,~$ $~\sphericalangle A=\sphericalangle B=90^{\circ}, A D=2 B C=6 \mathrm{~cm}~$ și, $~S_{A B C D}=27 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^2.~$ Punctul $~M~$ este mijlocul segmentului $~A B.$

(2p)   a) Demonstrează că $~C D=9 \mathrm{~cm}.$
(3p)   b) Determină măsura unghiului $~D M C.$

Acoperişul unei case, reprezentat în figura alăturată, are forma unei piramide patrulatere regulate $~V A B C D~$ cu latura bazei $~A B=24 \mathrm{~m}~$ şi înălțimea $~V O=5 \mathrm{~m}.$

(2p) a) Calculează apotema piramidei.
(3p) b) Întărim cu tablă toate cele opt muchii ale acoperişului. Cât este lungimea totală a întăriturilor?