Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII

Subiectul I

Dacă $~2^4 \cdot 4^2 \cdot 8^3=2^{2 x+5},~$ atunci valoarea numărului natural $~x~$ este egală cu:

Se dizolvă $~25~$ g sare în $~225~$ g apă. Concentrația soluṭiei obținute este:

Mulțimea numerelor naturale $~n~$ pentru care numărul $~\displaystyle \frac{18}{2 n-3}~$ este natural este:

Patru elevi au calculat valoarea numărului real: $~a=2 \sqrt{(\sqrt{2}-2)^{2}}-\sqrt{(2 \sqrt{2}-3)^{2}}.~$ Rezultatele obținute sunt prezentate in tabelul de mai jos.

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Ilona} & \text{Denis} & \text{Tania} & \text{Ionuț} \\
\hline
-1 & 0 & 1 & \sqrt{2} \\
\hline
\end{array}
$$
Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:

Patru elevi, Andrei, Bianca, Călin și Dana, efectuează calculul $~(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-\sqrt{24}~$ şi obțin rezultatele:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline \text { Andrei } & \text { Bianca } & \text { Călin } & \text { Dana } \\
\hline 5-2 \sqrt{6} & 5 & 5-\sqrt{6} & \sqrt{2}+\sqrt{3} \\
\hline
\end{array}
$$
Dintre cei patru elevi, cel care a efectuat corect calculul este:

Se consideră numerele reale
$a=6 \sqrt{6}\left( \displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{3}} \normalsize - \displaystyle \frac{1}{3 \sqrt{2}} \normalsize \right)~$ și
$b=3 \sqrt{6}\left( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \normalsize + \displaystyle \frac{2}{3 \sqrt{2}} \normalsize \right).$
Sofia afirmă: „Media geometrică a numerelor reale $~a~$ și $~b~$ este egală cu $~\sqrt{6}$”.
Afirmația Sofiei este:

Subiectul II

Matei parcurge un traseu turistic având forma triunghiului din figura de mai jos, cu perimetrul de $~1,8 \mathrm{~km}.~$ Lungimea pasului lui Matei este de $~0,6 \mathrm{~m}.$
Numărul de pași pe care îi va face Matei este:

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul $~ABC~$ cu $~BD \cap C E=\{H\}.~$
Dacă punctul $~H~$ este ortocentrul triunghiului $~ABC,~$ atunci dreapta $~AH~$ este:

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul dreptunghic $~A B C,~$ având măsura unghiului $~B A C~$ egală cu $~90^{\circ},~$ măsura unghiului $~A B C~$ egală cu $~30^{\circ}, A B=12 \mathrm{~cm}~$ și $~C D~$ este bisectoarea unghiului $~A C B,~$ cu $~D \in A B.$
Lungimea segmentului $~A D~$ este:

În figura de mai jos sunt reprezentate două triunghiuri dreptunghice $~A B C~$ și $~B A D,~$ cu $~\sphericalangle A B C=90^{\circ}~$ și $~\sphericalangle B A D=90^{\circ},~$ având cateta $~A B~$ comună, iar $~A D=45 \mathrm{~cm},~$ $~B C=30 \mathrm{~cm}~$ și $~A C \cap B D=\{E\}.$
Distanța de la punctul $~E~$ la dreapta $~A B~$ este egală cu:

O piscină circulară are suprafaṭa de $~100 \pi \mathrm{~m}^2.~$ Adrian pleacă din punctul $~A,~$ in sensul indicat de săgeata din figură, ocoleşte piscina şi revine în punctul $~A.$
Distanţa parcursă de Adrian, aproximată la cel mai apropiat număr intreg de metri, este:

O cutie are forma unui cub cu latura de $~5 \mathrm{~cm}.$
Numărul cutiilor ce pot fi confecţionate, având la dispoziție o coală dreptunghiulară cu dimensiunile de $~60 \mathrm{~cm}~$ și $~150 \mathrm{~cm},~$ este:

Subiectul III

Numărul $~\overline{a b},~$ cu $~a, b~$ cifre nenule, are proprietatea că $~\overline{b a}+8(a+b)=90.$
(2p)    a) Numărul 24 verifică ipoteza problemei?
(3p)    b) Câte numere $~\overline{a b}~$ au proprietatea din enunțul problemei?

Considerăm expresia
$E(x)=1-\displaystyle \frac{8}{x^2-4} \cdot\left[\left(\displaystyle \frac{x^2+4}{4 x}-1\right):\left(\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{x}\right)\right],~$ $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,0,2\}.$
(2p) a) Arată că $~E(x)=\displaystyle \frac{x-2}{x+2},~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,0,2\}.$
(3p) b) Arată că $~E(-x)=\displaystyle \frac{1}{E(x)},~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,0,2\}.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(3 b-5 a) x+a-2 b, a, b \in \mathbb{R}.$

(2p) a) Determină $~a~$ și $~b,~$ știind că punctele $~M(-1,-9)~$ și $~N(2,3)~$ sunt situate pe graficul funcției $~f.$
(3p) b) Pentru $~a=1~$ și $~b=3,~$ arată că $~f(x)=4 x-5~$ și calculează $~\operatorname{tg}(\sphericalangle O A B),~$ unde $~A~$ și $~B~$ sunt punctele de intersecție a graficului funcției $~f~$ cu axele de coordonate ale reperului ortogonal $~x O y.$

În figura alăturată, $~A B C~$ este un triunghi dreptunghic cu $~\sphericalangle A=90^{\circ},~$ având înălțimea $~A D=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, D \in B C~$ și $~\mathcal{A}_{A D C}=2 \cdot \mathcal{A}_{A B D}.$

(2p)   a) Arată că $~B C=12 \mathrm{~cm}.$
(3p)   b) Demonstrează că $~\sin (\sphericalangle B C A)=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}.$

În figura alăturată, dreapta $~d~$ este tangentă în $~A~$ la cercul de centru $~O,~$ iar $~B~$ și $~C~$ sunt două puncte situate pe dreapta $~d,~$ astfel încât $~A B=A C,~$ $~\sphericalangle B O C=90^{\circ}~$ şi $~B C=10 \mathrm{~cm}.$

(2p)   a) Arată că $~O B=O C.$
(3p)   b) Determină lungimea razei cercului.

Se consideră paralelipipedul $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ din figura alăturată, cu dimensiunile $~A B=5 \mathrm{~cm}, B C=4 \mathrm{~cm}~$ și $~C C^{\prime}=12 \mathrm{~cm}.$

(2p)   a) Volumul paralelipipedului este egal cu:
(3p)   b) Calculează sinusul unghiului format de dreptele $~A B^{\prime}~$ si $~C C^{\prime}.$