Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

În figura alăturată este reprezentat un panou publicitar format din două dreptunghiuri $~A B C D~$ şi $~A B E F,~$ situate în plane diferite şi fixate cu tijele $~F M~$ și $~E N,~$ unde $~M~$ și $~N~$ sunt mijloacele segmentelor $~A D,~$ respectiv $~B C.~$ Se ştie că $~A B=1,2 \mathrm{~m}, A D=2 \mathrm{~m}, F D=\sqrt{3} \mathrm{~m}, F M=1 \mathrm{~m}.$

(2p)   a) Arată că punctele $~D, C, E~$ și $~F~$ sunt coplanare.
(3p)   b) Calculează aria suportului $~A B E F.$

Se consideră expresia $~E(x)=\left(\frac{x+2}{x-1}-\frac{x-1}{x+2}+\frac{9}{x^2+x-2}\right): \frac{3}{1-x},~$ unde $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,1\}.$
(2p) a) Arată că $~x^2+x-2=(x-1)(x+2),~$ pentru orice număr real $~x.$
(3p) b) Demonstrează că $~E(x)=-2,~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-2,1\}.$

În figura alăturată, triunghiul $~A B C~$ este înscris în cercul $~\mathscr{C} O, R), A B=12 \mathrm{~cm},~$ $~\sphericalangle A C B=60^{\circ},~$ iar $~D~$ este punctul diametral opus lui $~A~$ în cercul dat.

(2p)   a) Arată că $~\sphericalangle B A D=30^{\circ}.$
(3p)   b) Determină lungimea razei cercului $~\mathscr{C}(O, R).$

Suma de bani $~S~$ este împărțită Mariei și Ioanei, invers proporțional cu numerele 0,5 și $~0,(3).$
(2p) a) Care dintre cele două fete primește mai mulți bani?
(3p) b) Determină valoarea lui $~S,~$ știind că Ioana primește 60 de lei.

În figura de mai jos este reprezentat rombul $~A B C D,~$ cu $~A C \cap B D=\{O\},~$ iar punctele $~E~$ și $~F~$ sunt situate pe laturile $~A B,~$ respectiv $~B C,~$ astfel încât $~A E \equiv B E~$ și $~B F \equiv F C.$

$2~p \quad$a) Demonstrează că patrulaterul $~B E O F~$ este romb.
$3~p \quad$b) Arată că $~O~$ este centrul de greutate al triunghiului $~D E F.$

Considerăm funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x-4.$

(2p) a) Calculează media geometrică a numerelor $~a=f(\sqrt{5})~$ și $~=f(4+\sqrt{5}).$
(3p) b) Determină coordonatele punctului $~M~$ de pe graficul funcției, ştiind că are ordonata egală cu două treimi din abscisă.