Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $~A B C~$ cu $~A B=10 \mathrm{~cm}~$ și $~B C=15 \mathrm{~cm}.~$ Se consideră punctul $~D~$ pe latura $~A B,~$ cu $~A D=4 \mathrm{~cm}.~$ Construim $~D G~$ paralelă cu $~A C, G \in B C, D E~$ paralelă cu $~B C, E \in A C~$ si $~E F~$ paralelă cu $~A B, F \in B C.~$ Dreptele $~D G~$ și $~E F~$ se intersectează în punctul $~R.$

(2p) a) Arată că $~B F=G C=6 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Determină lungimea segmentului $~E R.$

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{x^2}{x^2+x}-\frac{x}{x-x^2}-\frac{x+1}{x^3+x^2-x-1}\right) \cdot\left(x-\frac{1}{x}\right),~$ unde $~x~$ este număr real, $~x \neq-1, x \neq 0~$ și $~x \neq 1.$
(2p) a) Arată că $~x^3+x^2-x-1=(x+1)^2(x-1),~$ pentru orice număr real $~x.$
(3p) b) Demonstrează că $~E\left(4 x^2+9\right)-12 E(x) \geq 0,~$ oricare ar fi numărul real $~x, x \neq-1, x \neq 0~$ şi $~x \neq 1.$

În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră $~V A B C D.~$ Toate muchiile piramidei au lungimea de 6 cm. Punctul $~P~$ se află pe muchia $~V C,~$ astfel încât $~V P=2 P C.$

(2p)   a) Calculează aria laterală a piramidei.
(3p)   b) Află tangenta unghiului format de dreptele $~A D~$ și $~B P.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-x+3.$
(2p)   a) Arată că $~f(\sqrt{5}) \cdot f(-\sqrt{5})=4.$
(3p)   b) Demonstrează că simetricul punctului $~P(1,4)~$ față de axa ordonatelor a sistemului de axe ortogonale $~x O y~$ aparține reprezentării grafice a funcției $~f.$

Suma de 300 de lei este plătită cu bancnote de 10 lei și de 5 lei, cel puţin câte o bancnotã de fiecare fel.
(2p) a) Care este numărul maxim de bancnote de 5 lei care poate fi folosit?
(3p) b) În câte moduri putem plăti suma de 300 de lei, în condiṭiile problemei?

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic $~A B C~$ cu $~A B=15 \mathrm{~cm},~$ $~A C=20 \mathrm{~cm}~$ și măsura unghiului $~B A C~$ de $~90^{\circ}.~$ Construim $~A D~$ perpendiculară pe $~B C, D \in B C~$ și $~D E~$ paralelă cu $~A C, E \in A B.$

(2p) a) Arată că $~A D=12 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Determină lungimea segmentului $~D E.$