Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Fie funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a x+2,~$ unde $~a \in \mathbb{R},~$ al cărei grafic într-un reper cartezian $~x O y~$ este reprezentat în figura alăturată. Punctul $~A(1,5)~$ aparține graficului funcției.

(2p) a) Arată că $~a=3.$
(3p) b) Determină punctul $~B,~$ situat pe graficul funcției, care are coordonate egale.

În figura alăturată sunt reprezentate dreptunghiul $~A B C D,~$ cu laturile $~A B=16 \mathrm{~cm}~$ și $~B C=12 \mathrm{~cm},~$ și rombul $~A E C F,~$ ale cărui vârfuri $~E~$ şi $~F~$ se află pe segmentele $~A B,~$ respectiv $~C D.$

(2p) a) Demonstrează că patrulaterul $~B E D F~$ este paralelogram.
(3p) b) Află lungimea segmentului $~E F.$

În figura alăturată, triunghiul $~A B C~$ este înscris în cercul $~\mathscr{C} O, R), A B=12 \mathrm{~cm},~$ $~\sphericalangle A C B=60^{\circ},~$ iar $~D~$ este punctul diametral opus lui $~A~$ în cercul dat.

(2p)   a) Arată că $~\sphericalangle B A D=30^{\circ}.$
(3p)   b) Determină lungimea razei cercului $~\mathscr{C}(O, R).$

Într-o sală de clasă, dacă stă câte un copil în fiecare bancă, rămân 12 copii în picioare. Dacă stau câte doi copii în fiecare bancă, atunci în ultima bancă rămâne un singur copil.
(2p) a) Este posibil să fie 14 bănci? Justifică răspunsul.
(3p) b) Determină numărul de copii.

Se consideră numerele
$a=(-2)^{11}: 2^8+5^{33}: 25^{16}+2024^0~$ și
$b=\left(1+\frac{1}{3}-\frac{5}{2}\right):\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right).$
(2p) a) Arată că $~a=-2.$
(3p) b) Calculează $~(a+b+a \cdot b)^{2025}.$

Figura alăturată reprezintă o prismă patrulateră regulată $~A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}~$ cu muchia bazei $~A B=6 \mathrm{~cm}~$ și muchia laterală $~A A^{\prime}=6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}.~$ Punctul $~O~$ este centrul pătratului $~A B C D.$

(2p)   a) Arată că patrulaterul $~A C C^{\prime} A^{\prime}~$ este pătrat.
(3p)   b) Demonstrează că dreapta $~C^{\prime} O~$ este paralelă cu planul $~A B^{\prime} D^{\prime}.$