Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Se consideră expresia
$E(x)=\frac{\left(x^2+4 x+3\right)\left(x^2+3 x+2\right)}{x^2+5 x+6},~$ unde $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-3,-2\}.$
(2p) a) Arată că $~x^2+4 x+3=(x+1)(x+3),~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R}.$
(3p) b) Demonstrează că $~E(x) \geq 0,~$ pentru orice $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-3,-2\}.$

Dintr-un disc de carton cu diametrul de 12 cm se decupează un hexagon regulat, cu pierdere minimă de material, ca în figura alăturată (prin urmare, vârfurile hexagonului se vor afla pe frontiera discului).

(2p) a) Arată că latura hexagonului are lungimea de 6 cm.
(3p) b) Află aria suprafeței de carton care se elimină în urma decupării.

În figura alăturată sunt reprezentate două triunghiuri echilaterale $~A B C~$ si $~B D E. A, B, D~$ sunt puncte coliniare, $~C~$ și $~E~$ sunt situate de o parte şi de alta a dreptei $~A D, A B=5 \mathrm{~cm}~$ si $~B D=10 \mathrm{~cm}.$

(2p) a) Arată că dreptele $~A C~$ și $~D E~$ sunt paralele.
(3p) b) Determină lungimea segmentului $~A E.$

Dintr-o prismă triunghiulară regulată $~A B C A_1 B_1 C_1~$ din lemn, cu toate muchiile de lungime 6 cm, se obține prin prelucrare piramida patrulateră regulată $~V B C C_1 B_1~$ din figura alăturată, unde $~V~$ este mijlocul muchiei $~A A_1.$

(2p) a) Determină volumul de lemn pierdut prin prelucrare.
(3p) b) Află măsura unghiului format de două fețe laterale opuse ale piramidei.

Într-o pungă sunt mai multe bomboane. Dacă toate bomboanele se împart în mod egal unui grup de 6 copii, atunci în pungă rămân 4 bomboane, iar dacă toate bomboanele se împart în mod egal unui grup de 8 copii, atunci în pungă rămân 6 bomboane.
(2p)   a) Verifică dacă în pungă puteau fi 46 de bomboane. Justifică răspunsul dat.
(3p)   b) Află care poate fi cel mai mic număr de bomboane din pungă.

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{2}+1.$

(2p)   a) Calculează $~f(-1) \cdot f(2).$
(3p)   b) Ştiind că $~A~$ si $~B~$ sunt punctele de intersecție dintre graficul funcției $~f~$ și axele $~O x,~$ respectiv $~O y~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y,~$ determină aria triunghiului $~O A B.$