Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Dintr-o prismă triunghiulară regulată $~A B C A_1 B_1 C_1~$ din lemn, cu toate muchiile de lungime 6 cm, se obține prin prelucrare piramida patrulateră regulată $~V B C C_1 B_1~$ din figura alăturată, unde $~V~$ este mijlocul muchiei $~A A_1.$

(2p) a) Determină volumul de lemn pierdut prin prelucrare.
(3p) b) Află măsura unghiului format de două fețe laterale opuse ale piramidei.

În figura alăturată este reprezentat trapezul $~A B C D,~$ cu baza mare $~A B=6 \mathrm{~cm},~$ baza mică $~C D=4 \mathrm{~cm},~$ $~\sphericalangle A=90^{\circ}~$ și $\sphericalangle B=60^{\circ}.$

(2p)   a) Calculează aria trapezului $~A B C D.$
(3p)   b) Determină măsura unghiului $~B D C.$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-2 x-3.$

(2p) a) Demonstrează că numărul $~f(-2)+f(-3)+\ldots+f(-10)~$ este pătrat perfect.
(3p) b) Determină punctele având coordonate egale care sunt situate pe graficul funcției $~f.$

Trei numere naturale nenule $~a, b~$ şi $~c~$ îndeplinesc următoarele condiții: $~a~$ este diferit de $~0, b~$ împărțit la $~a~$ dă câtul 2 și restul 3, iar $~c~$ este de 4 ori mai mare dacât $~a.$
(2p)   a) Află cât la sută din $~c~$ reprezintă numărul $~a.$
(3p)   b) Află cele trei numere, știind că suma lor este egală cu 87.

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{2 x^2+3 x+11}{x^2+2 x-3}-\frac{x-2}{x+3}\right): \frac{1}{x^2-1},~$ unde $~x \in \mathbb{R} \backslash\{-3,-1,1\}.$
(2p)   a) Arată că $~x^2+2 x-3=(x+3)(x-1),~$ pentru orice număr real $~x.$
(3p)   b) Demonstrează că numărul $~1+E(n)~$ este pătrat perfect, pentru orice număr natural $~n,~$ diferit de 1.

În figura alăturată sunt reprezentate două triunghiuri echilaterale $~A B C~$ si $~B D E. A, B, D~$ sunt puncte coliniare, $~C~$ și $~E~$ sunt situate de o parte şi de alta a dreptei $~A D, A B=5 \mathrm{~cm}~$ si $~B D=10 \mathrm{~cm}.$

(2p) a) Arată că dreptele $~A C~$ și $~D E~$ sunt paralele.
(3p) b) Determină lungimea segmentului $~A E.$