Test Evaluare Națională – Clasele V-VIII – Subiectul III

Se consideră expresia
$E(x)=\left(\frac{1}{9 x}-\frac{1}{x^3}\right): \frac{x^3+6 x^2+9 x}{9 x^4},~$ unde $~x~$ este număr real, $~x \neq-3~$ si $~x \neq 0.$
(2p) a) Arată că $~E(x)=\frac{x-3}{x+3},~$ pentru orice număr real $~x, x \neq-3~$ și $~x \neq 0.$
(3p) b) Determină $~x \in \mathbb{Z},~$ pentru care $~E(x)+\frac{1}{2 x}=0.$

Într-o clasă, numărul elevilor absenți este $~\frac{1}{8}~$ din numărul celor prezenți. Dacă din clasă pleacă doi elevi, numărul elevilor absenți devine $~\frac{1}{5}~$ din numărul celor prezenți.
(2p) a) Stabilește dacă în clasă pot fí prezenți 24 de elevi.
(3p) b) Care este numărul total al elevilor clasei?

În triunghiul $~A B C~$ avem: $~A B=5 \mathrm{~cm}, A C=8 \mathrm{~cm},~$ iar sinusul unghiului $~B A C~$ este egal cu 0,8.

(2p) a) Calculează lungimea laturii $~B C.$
(3p) b) Determină aria triunghiului $~A B C.$

În figura alăturată avem: $~\sphericalangle B C D=90^{\circ}, A B=12 \mathrm{~cm}, B C=4 \mathrm{~cm},~$ $~C D=3 \mathrm{~cm}~$ şi $~A D=13 \mathrm{~cm}.$

(2p)   a) Arată că dreptele $~A B~$ și $~B D~$ sunt perpendiculare.
(3p)   b) Dacă $~M~$ şi $~N~$ sunt mijloacele segmentelor $~B D,~$ respectiv $~A D,~$ calculează suma $~C M+M N+N B.$

În figura alăturată, $~V A B C~$ este o piramidă triunghiulară regulată cu înălṭimea $~V O=3 \mathrm{~cm}~$ şi apotema $~V M=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}, M \in B C.$

(2p) a) Arată că $~A B=6 \mathrm{~cm}.$
(3p) b) Calculează tangenta unghiului format de dreapta $~V B~$ cu planul ( $~V A M).$

Se consideră funcția $~f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=-x+1.$

(2p) a) Calculează $~f(\sqrt{2}) \cdot f(-\sqrt{2}).$
(3p) b) Ştiind că $~A~$ şi $~B~$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $~f \mathrm{cu}~$ axele $~O x,~$ respectiv $~O y~$ ale sistemului de axe ortogonale $~x O y,~$ determină distanța de la punctul $~C(3,0)~$ la dreapta $~A B.$