Test Bacalaureat și Admiteri – M1

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Deoarece
$
x^2+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^2+\tfrac34>0,\ \forall x\in\mathbb R,
$
condiția $\mathrm{Im}(f)\subset[0,2]$ este echivalentă cu:
$
0\le \frac{N(x)}{D(x)}\le 2,\ \forall x,\quad N(x)=x^2+ax+1,\ D(x)=x^2+x+1.
$

1) Condiția $f(x)\ge 0$

Cum $D(x)>0$, trebuie:
$
N(x)=x^2+ax+1\ge 0,\ \forall x.
$
Pentru un trinom cu coeficientul lui $x^2$ pozitiv, asta înseamnă discriminant $\le 0$:
$
\Delta_N=a^2-4\le 0 \iff a\in[-2,2].
$

2) Condiția $f(x)\le 2$
$
\frac{N(x)}{D(x)}\le 2 \iff N(x)\le 2D(x)
$
$
\iff 0\le 2D(x)-N(x)=x^2+(2-a)x+1=:M(x).
$
Cerem $M(x)\ge 0,\ \forall x$, deci:
$
\Delta_M=(2-a)^2-4\le 0 \iff (2-a)^2\le 4 \iff a\in[0,4].
$

Intersecția condițiilor:
$
a\in[-2,2]\cap[0,4]=[0,2].
$

Răspuns corect: $a\in[0,2]$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru ca parabolele să fie tangente în punctul $T(-2, -2)$, trebuie îndeplinite două condiții:
1. Punctul $T$ trebuie să aparțină ambelor parabole (verificăm apartenența la $P_1$ și impunem apartenența la $P_2$).
2. Parabolele trebuie să aibă aceeași tangentă în $T$, ceea ce înseamnă că ecuația intersecției lor trebuie să aibă soluția dublă $x = -2$.
**Pasul 1: Verificăm apartenența la $P_1$ (pentru consistență)**
$y = (-2)^2 + 5(-2) + 4 = 4 - 10 + 4 = -2$.
Punctul $(-2, -2)$ aparține parabolei $P_1$.
**Pasul 2: Impunem apartenența punctului $T(-2, -2)$ la $P_2$**
Înlocuim $x=-2, y=-2$ în ecuația lui $P_2$:
$$-2 = (m-1)(-2)^2 + (4m+n-4)(-2) + 5m+2n-4$$
$$-2 = 4(m-1) - 2(4m+n-4) + 5m+2n-4$$
$$-2 = 4m - 4 - 8m - 2n + 8 + 5m + 2n - 4$$
Simplificăm termenii asemenea:
$$-2 = (4m - 8m + 5m) + (-2n + 2n) + (-4 + 8 - 4)$$
$$-2 = m + 0 + 0$$
Deci, **$m = -2$**.
**Pasul 3: Impunem condiția de tangență**
Acum știm că $m = -2$. Ecuația lui $P_2$ devine:
$y = (-2-1)x^2 + [4(-2)+n-4]x + [5(-2)+2n-4]$
$y = -3x^2 + (n-12)x + (2n-14)$
Pentru ca parabolele să fie tangente, ecuația $P_1(x) = P_2(x)$ trebuie să aibă discriminantul $\Delta = 0$ (sau direct soluția dublă $x = -2$).
$$x^2 + 5x + 4 = -3x^2 + (n-12)x + (2n-14)$$
$$4x^2 + [5 - (n-12)]x + [4 - (2n-14)] = 0$$
$$4x^2 + (17-n)x + (18-2n) = 0$$
Știm că soluția dublă trebuie să fie $x = -2$.
Într-o ecuație de forma $Ax^2 + Bx + C = 0$, soluția dublă este $x = -B/2A$.
Aici $A = 4$, deci:
$$-2 = -\frac{17-n}{2 \cdot 4}$$
$$-2 = \frac{n-17}{8}$$
$$-16 = n - 17$$
$$n = 17 - 16$$
**$n = 1$**.
Verificăm dacă $\Delta = 0$ pentru $n=1$:
Ecuația devine $4x^2 + 16x + 16 = 0 \Leftrightarrow 4(x+2)^2 = 0$.
Soluția este $x=-2$ (dublă). Corect.
**Răspuns corect:**
**$m=-2, n=1$**

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a determina intervalul în care se află suma rădăcinilor, trebuie să ținem cont de condiția ca rădăcinile să fie reale și de relațiile lui Viète.
### 1. Condiția pentru existența rădăcinilor reale
Pentru ca $x_1$ și $x_2$ să fie reale, discriminantul ($\Delta$) al ecuației $2x^2 - 2mx + m^2 - 2m = 0$ trebuie să fie mai mare sau egal cu zero.
* $a = 2$
* $b = -2m$
* $c = m^2 - 2m$
Calculăm $\Delta$:
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
$$\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 2m)$$
$$\Delta = 4m^2 - 8m^2 + 16m$$
$$\Delta = -4m^2 + 16m$$
Punem condiția $\Delta \geq 0$:
$$-4m^2 + 16m \geq 0$$
Împărțim prin $-4$ (schimbând sensul inegalității):
$$m^2 - 4m \leq 0$$
$$m(m - 4) \leq 0$$
Rădăcinile expresiei sunt $0$ și $4$. Expresia este negativă sau nulă între rădăcini, deci:
**$m \in [0, 4]$**
### 2. Calculul sumei rădăcinilor
Conform primei relații a lui Viète, suma rădăcinilor este:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
$$x_1 + x_2 = -\frac{-2m}{2}$$
$$x_1 + x_2 = \frac{2m}{2}$$
$$x_1 + x_2 = m$$
### 3. Determinarea intervalului
Deoarece am stabilit că $x_1 + x_2 = m$, iar din condiția de existență a rădăcinilor reale am aflat că $m \in [0, 4]$, rezultă direct că:
$$x_1 + x_2 \in [0, 4]$$
**Răspuns corect:**
**$[0, 4]$**

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a rezolva ecuația, vom folosi proprietățile logaritmilor pentru a aduce toți termenii la aceeași bază.
**1. Condiții de existență:**
* Baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și diferită de 1: $x > 0$ și $x \neq 1$.
* Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: $x+1 > 0$, $x^3+1 > 0$ și $x^2+1 > 0$.
Pentru $x > 0$, aceste condiții sunt îndeplinite automat. Deci, domeniul este $D = (0, \infty) \setminus \{1\}$.
**2. Schimbarea bazei logaritmilor:**
Vom folosi formula $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$. Ecuația devine:
$$\log_x(x+1) + \frac{1}{3} \log_x(x^3+1) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_x(x^2+1)$$
$$\log_x(x+1) + \frac{1}{3} \log_x(x^3+1) = \log_x(x^2+1)$$
**3. Gruparea termenilor:**
Înmulțim întreaga ecuație cu 3 pentru a elimina fracția:
$$3 \log_x(x+1) + \log_x(x^3+1) = 3 \log_x(x^2+1)$$
Folosind proprietatea $n \log a = \log a^n$ și $\log a + \log b = \log(ab)$:
$$\log_x \left[ (x+1)^3 (x^3+1) \right] = \log_x (x^2+1)^3$$
Egalăm argumentele:
$$(x+1)^3 (x^3+1) = (x^2+1)^3$$
**4. Rezolvarea ecuației algebrice:**
Dezvoltăm ambele părți ale ecuației:
* Membru stâng (LHS): $(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)(x^3 + 1) = x^6 + x^3 + 3x^5 + 3x^2 + 3x^4 + 3x + x^3 + 1 = x^6 + 3x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
* Membru drept (RHS): $(x^2+1)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2(1) + 3(x^2)(1)^2 + 1^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$
Egalăm cele două expresii:
$$x^6 + 3x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$$
Simplificăm termenii comuni ($x^6, 3x^4, 3x^2, 1$):
$$3x^5 + 2x^3 + 3x = 0$$
$$x(3x^4 + 2x^2 + 3) = 0$$
**5. Analiza soluțiilor:**
1. $x = 0$: Nu convine, deoarece baza logaritmului trebuie să fie $x > 0$.
2. $3x^4 + 2x^2 + 3 = 0$: Notăm $x^2 = t$ (unde $t > 0$). Ecuația devine $3t^2 + 2t + 3 = 0$. Discriminantul este $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32 < 0$. Această ecuație nu are rădăcini reale.
Prin urmare, nu există nicio valoare reală a lui $x$ în domeniul de existență care să verifice ecuația.
**Răspuns corect:**
**$x \in \emptyset$**

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a rezolva ecuația $z^2 = 3 - 4i$, unde $z \in \mathbb{C}$, vom scrie numărul complex $z$ sub formă algebrică: $z = x + iy$, cu $x, y \in \mathbb{R}$.
### 1. Scrierea sistemului de ecuații
Știm că:
$z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$
Egalăm partea reală și partea imaginară cu cele ale numărului $3 - 4i$:
1) $x^2 - y^2 = 3$
2) $2xy = -4 \implies xy = -2$
De asemenea, putem folosi modulul numărului complex ($|z^2| = |z|^2$):
$|3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
Deci, avem a treia relație:
3) $x^2 + y^2 = 5$
### 2. Rezolvarea sistemului
Folosim ecuațiile (1) și (3):
* Adunăm (1) cu (3): $2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x \in \{2, -2\}$
* Scădem (1) din (3): $2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y \in \{1, -1\}$
### 3. Determinarea semnelor
Din ecuația (2), $xy = -2$, observăm că produsul $xy$ este negativ. Acest lucru înseamnă că $x$ și $y$ trebuie să aibă **semne opuse**:
* Dacă $x = 2$, atunci $y = -1$. Obținem $z_1 = 2 - i$.
* Dacă $x = -2$, atunci $y = 1$. Obținem $z_2 = -2 + i$.
### 4. Concluzie
Mulțimea soluțiilor este $\{2 - i, -2 + i\}$.
**Răspuns corect:**
**$\{2-i,-2+i\}$**

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Un sistem liniar omogen (toți termenii liberi sunt 0) este **compatibil determinat** dacă și numai dacă admite o singură soluție, care este soluția banală $(0, 0, 0)$. Această condiție este echivalentă cu faptul că **determinantul matricei sistemului este nenul**. **Pasul 1: Scrierea determinantului matricei sistemului** Matricea coeficienților este: $$ A = \left(\begin{array}{rrr} 2 & a & 4 \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & -2 & -1 \end{array}\right) $$ **Pasul 2: Calculul determinantului** Folosim regula triunghiului sau regula lui Sarrus: $$ \det(A) = 2(-1)(-1) + a(-1)(3) + 4(1)(-2) - [3(-1)(4) + (-2)(-1)(2) + (-1)(1)(a)] $$ Calculăm termenii: * Diagonale principale: $2 - 3a - 8 = -3a - 6$ * Diagonale secundare: $-12 + 4 - a = -a - 8$ $$ \det(A) = (-3a - 6) - (-a - 8) $$ $$ \det(A) = -3a - 6 + a + 8 $$ $$ \det(A) = 2 - 2a $$ **Pasul 3: Impunerea condiției** Pentru ca sistemul să fie compatibil determinat, trebuie ca $\det(A) \neq 0$. $$ 2 - 2a \neq 0 $$ $$ 2a \neq 2 $$ $$ a \neq 1 $$ Aceasta înseamnă că $a$ poate fi orice număr real, cu excepția lui 1. **Răspuns corect:** $\boxed{a \in \mathbb{R} \backslash\{1\}}$

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a rezolva această problemă, vom folosi descompunerea polinoamelor și proprietățile determinanților.

**Pasul 1: Identificarea expresiilor algebrice**
Trebuie să calculăm valoarea determinantului:
$$D = \det(I_2 + \alpha A + \alpha^2 A^2)$$

Observăm identitatea algebrică pentru diferența cuburilor, ajustată cu coeficientul $\alpha$.
Avem relația: $(1 - \alpha x)(1 + \alpha x + \alpha^2 x^2) = 1 - (\alpha x)^3 = 1 - \alpha^3 x^3$.
Deoarece $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$, știm că $\alpha^3 = 1$.
Deci: $(1 - \alpha x)(1 + \alpha x + \alpha^2 x^2) = 1 - x^3$.

Transpusă în limbajul matricelor (care comută cu ele însele), relația devine:
$$(I_2 - \alpha A)(I_2 + \alpha A + \alpha^2 A^2) = I_2 - A^3$$
Trecând la determinanți, obținem:
$$\det(I_2 - \alpha A) \cdot \det(I_2 + \alpha A + \alpha^2 A^2) = \det(I_2 - A^3) \quad (*)$$

**Pasul 2: Descompunerea lui $I_2 - A^3$**
Polinomul $1 - x^3$ are rădăcinile $1, \alpha, \alpha^2$. Deci putem scrie:
$$1 - x^3 = (1 - x)(1 - \alpha x)(1 - \alpha^2 x)$$
Pentru matrice, aceasta înseamnă:
$$I_2 - A^3 = (I_2 - A)(I_2 - \alpha A)(I_2 - \alpha^2 A)$$
Trecând la determinanți:
$$\det(I_2 - A^3) = \det(I_2 - A) \cdot \det(I_2 - \alpha A) \cdot \det(I_2 - \alpha^2 A)$$

**Pasul 3: Simplificarea expresiei țintă**
Înlocuim expresia lui $\det(I_2 - A^3)$ în relația $(*)$ de la Pasul 1:
$$\det(I_2 - \alpha A) \cdot D = \det(I_2 - A) \cdot \det(I_2 - \alpha A) \cdot \det(I_2 - \alpha^2 A)$$

Trebuie să ne asigurăm că $\det(I_2 - \alpha A) \neq 0$ pentru a putea simplifica.
Dacă $\det(I_2 - \alpha A)$ ar fi $0$, atunci $\det(\alpha I_2 - A) = \alpha^2 \det(I_2 - \alpha^2 A)$ ar putea fi legat de valori proprii, dar să privim ipoteza din enunț: $\det(I_2 - A) \cdot \det(\alpha I_2 - A) = \alpha^2$. Dacă $\det(\alpha I_2 - A)$ ar fi 0, produsul ar fi 0, dar $\alpha^2 \neq 0$. Deci $\det(\alpha I_2 - A) \neq 0$, ceea ce implică $\det(I_2 - \alpha A) \neq 0$.

Simplificăm prin $\det(I_2 - \alpha A)$:
$$D = \det(I_2 - A) \cdot \det(I_2 - \alpha^2 A)$$

**Pasul 4: Folosirea ipotezei din enunț**
Ipoteza este:
$$\det(I_2 - A) \cdot \det(\alpha I_2 - A) = \alpha^2$$

Prelucrăm termenul $\det(\alpha I_2 - A)$. Deoarece matricele sunt de ordinul 2 ($n=2$), avem proprietatea $\det(k M) = k^n \det(M) = k^2 \det(M)$.
Factorizăm pe $\alpha$:
$$\det(\alpha I_2 - A) = \det\left(\alpha \left(I_2 - \frac{1}{\alpha} A\right)\right) = \alpha^2 \det\left(I_2 - \frac{1}{\alpha} A\right)$$
Știm că $\frac{1}{\alpha} = \alpha^2$ (deoarece $\alpha^3=1$).
Deci:
$$\det(\alpha I_2 - A) = \alpha^2 \det(I_2 - \alpha^2 A)$$

Înlocuim acest rezultat în relația din ipoteză:
$$\det(I_2 - A) \cdot [\alpha^2 \det(I_2 - \alpha^2 A)] = \alpha^2$$

Împărțim prin $\alpha^2$ (care este nenul):
$$\det(I_2 - A) \cdot \det(I_2 - \alpha^2 A) = 1$$

**Concluzie**
Comparând rezultatul de la Pasul 3 ($D = \det(I_2 - A) \cdot \det(I_2 - \alpha^2 A)$) cu cel de la Pasul 4, obținem:

$$D = 1$$

**Răspuns:** Valoarea determinantului este $1$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru ca legea de compoziție $x * y = ax + by + c$ să fie asociativă și să admită element neutru, trebuie să verificăm ambele condiții:
### 1. Condiția de asociativitate
Din calculele anterioare, știm că pentru ca $(x * y) * z = x * (y * z)$ să fie adevărată pentru orice $x, y, z \in \mathbb{R}$, trebuie ca:
* $a^2 = a \implies a=1$ (deoarece $a \neq 0$)
* $b^2 = b \implies b=1$ (deoarece $b \neq 0$)
* $ac + c = bc + c \implies 1 \cdot c + c = 1 \cdot c + c$ (adevărat pentru orice $c$)
Deci, asociativitatea impune **$a=1$ și $b=1$**. Legea devine $x * y = x + y + c$.
### 2. Condiția existenței elementului neutru
Un element $e \in \mathbb{R}$ este element neutru dacă $x * e = x$ și $e * x = x$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$.
Folosind $a=1$ și $b=1$:
* $x * e = x \implies x + e + c = x \implies e + c = 0 \implies e = -c$
* $e * x = x \implies e + x + c = x \implies e + c = 0 \implies e = -c$
Deoarece $c$ este un număr real constant, $e = -c$ este un număr real bine determinat. Prin urmare, pentru orice valoare a lui $c \in \mathbb{R}$, există un element neutru.
**Notă:** Dacă am fi încercat să găsim elementul neutru fără a presupune $a=b=1$, am fi ajuns la concluzia că $a$ și $b$ trebuie să fie neapărat $1$. De exemplu, $ax + be + c = x$ pentru orice $x$ implică $a=1$.
### Concluzie:
Proprietățile de asociativitate și existență a elementului neutru sunt îndeplinite simultan dacă și numai dacă $a=1$, $b=1$ și $c$ este orice număr real.
Răspunsul corect este:
**$a=b=1, c \in \mathbb{R}$**

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a calcula $A_1 \cdot A_1$, mai întâi scriem forma matricei $A_1$ înlocuind $a=1$ în expresia generală:
$$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Acum efectuăm înmulțirea celor două matrice:
$$A_1 \cdot A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Calculăm elementele matricei rezultate:
* $c_{11} = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1 + 1 = 2$
* $c_{12} = 1\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot0 = 0$
* $c_{13} = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1 + 1 = 2$
* $c_{21} = 0\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot1 = 0$
* $c_{22} = 0\cdot0 + 0\cdot0 + 0\cdot0 = 0$
* $c_{23} = 0\cdot1 + 0\cdot0 + 0\cdot1 = 0$
* $c_{31} = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1 + 1 = 2$
* $c_{32} = 1\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot0 = 0$
* $c_{33} = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1 + 1 = 2$
Matricea rezultată este:
$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Observăm că această matrice corespunde formei $A_a$ pentru $a=2$. Deci:
$$A_1 \cdot A_1 = A_2$$
Răspunsul corect este:
**$A_2$**

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a găsi ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $x=2$, folosim formula generală:
$$y - f(x_0) = f(x_0)(x - x_0)$$
unde $x_0 = 2$.
### 1. Calcularea valorii funcției în punct, $f(2)$
Mai întâi, simplificăm expresia funcției folosind proprietățile logaritmilor pentru a ușura calculele:
$f(x) = \ln \sqrt{\large\frac{2x-1}{x+1}} = \ln \left( \large\frac{2x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \large\frac{1}{2} \ln \left( \large\frac{2x-1}{x+1} \right)$
Calculăm $f(2)$:
$$f(2) = \large\frac{1}{2} \ln \left( \large\frac{2(2)-1}{2+1} \right) = \large\frac{1}{2} \ln \left( \large\frac{3}{3} \right) = \large\frac{1}{2} \ln 1 = 0$$
Deci, punctul de tangență este $(2, 0)$.
### 2. Calcularea derivatei $f(x)$
Folosim forma simplificată $f(x) = \large\frac{1}{2} [ln(2x-1) - ln(x+1)]$:
$$f(x) = \large\frac{1}{2} \left( \large\frac{(2x-1)}{2x-1} - \large\frac{(x+1)}{x+1} \right)$$
$$f(x) = \large\frac{1}{2} \left( \large\frac{2}{2x-1} - \large\frac{1}{x+1} \right)$$
### 3. Calcularea pantei tangentei, $f(2)$
$$f(2) = \large\frac{1}{2} \left( \large\frac{2}{2(2)-1} - \large\frac{1}{2+1} \right)$$
$$f(2) = \large\frac{1}{2} \left( \large\frac{2}{3} - \large\frac{1}{3} \right) = \large\frac{1}{2} \cdot \large\frac{1}{3} = \large\frac{1}{6}$$
### 4. Scrierea ecuației tangentei
Înlocuim valorile $x_0 = 2$, $f(2) = 0$ și $f(2) = \large\frac{1}{6}$ în formulă:
$$y - 0 = \large\frac{1}{6}(x - 2)$$
Înmulțim întreaga ecuație cu 6 pentru a elimina numitorul:
$$6y = x - 2$$
Aducem ecuația la forma implicită:
$$x - 6y - 2 = 0$$
**Răspuns corect:**
$x-6y-2=0$

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a găsi perechile $(b, c)$ care îndeplinesc cele două condiții, vom analiza funcția $f(x) = \large\frac{x^2 + bx + 2}{x^2 + 2x + c}$.
### 1. Determinarea asimptotei orizontale
Deoarece gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului, iar coeficienții dominanți sunt ambii 1, asimptota orizontală este:
$$\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \large\frac{1}{1} = 1 \implies y = 1$$
### 2. Condiția ca graficul să nu intersecteze asimptota orizontală
Graficul nu intersectează asimptota dacă ecuația $f(x) = 1$ nu are nicio soluție în domeniul de definiție $D$:
$$\large\frac{x^2 + bx + 2}{x^2 + 2x + c} = 1 \implies x^2 + bx + 2 = x^2 + 2x + c \implies (b-2)x = c-2$$
- Dacă **$b = 2$**, ecuația devine $0 = c-2$. Pentru a nu avea soluții, trebuie ca **$c \neq 2$**.
- Dacă **$b \neq 2$**, soluția este $x = \large\frac{c-2}{b-2}$. Pentru ca graficul să nu intersecteze asimptota, această valoare trebuie să nu aparțină domeniului $D$, deci trebuie să fie o rădăcină a numitorului.
### 3. Condiția de a avea o singură asimptotă verticală
Asimptotele verticale sunt date de rădăcinile numitorului $x^2 + 2x + c = 0$ care nu sunt anulate de numărător.
Pentru a avea o singură asimptotă verticală, există două cazuri:
- **Cazul A: Numitorul are o rădăcină dublă ($\delta = 0$).**
$\delta = 2^2 - 4c = 0 \implies 4 - 4c = 0 \implies \mathbf{c = 1}$.
Rădăcina dublă este $x = -1$.
- **Cazul B: Numitorul are două rădăcini distincte, dar una este anulată de numărător.** (Vom vedea că acest caz nu satisface lipsa intersecției cu asimptota orizontală).
### 4. Verificarea valorilor pentru $c = 1$
Dacă $c = 1$, ecuația de intersecție de la punctul 2 devine:
$$(b-2)x = 1 - 2 \implies (b-2)x = -1$$
Pentru a nu avea soluții în domeniu (unde $x \neq -1$):
- Fie ecuația nu are nicio soluție: $b-2 = 0 \implies \mathbf{b = 2}$.
- Fie soluția este chiar punctul exclus din domeniu ($x = -1$): $\large\frac{-1}{b-2} = -1 \implies b-2 = 1 \implies \mathbf{b = 3}$.
### 5. Verificarea finală a variantelor
- Dacă **$b = 2, c = 1$**: $f(x) = \large\frac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}$. Există o singură asimptotă verticală ($x=-1$) și $f(x) = 1 + \large\frac{1}{(x+1)^2}$, care nu este niciodată 1. (Valid)
- Dacă **$b = 3, c = 1$**: $f(x) = \large\frac{x^2+3x+2}{(x+1)^2} = \large\frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)^2} = \large\frac{x+2}{x+1}$. Există o singură asimptotă verticală ($x=-1$) și $\large\frac{x+2}{x+1} = 1 \implies x+2 = x+1 \implies 2=1$ (imposibil). (Valid)
**Răspuns corect:**
$\left{(b, c) \in \mathbb{R}^2 mid c=1, b=2\right.$ sau $\left.c=1, b=3\right}$

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a calcula integrala $I = \displaystyle \int_0^a \large\frac{(a-x)^{n-1}}{(a+x)^{n+1}} \mathrm{~d} x$, unde $a>0$ și $n \in \mathbb{N}^*$, vom folosi o schimbare de variabilă care să simplifice raportul dintre cele două binoame.
### 1. Alegerea schimbării de variabilă
Observăm că integrandul poate fi rescris astfel:
$$\large\frac{(a-x)^{n-1}}{(a+x)^{n+1}} = \large\frac{1}{(a+x)^2} \cdot \left( \large\frac{a-x}{a+x} \right)^{n-1}$$
Notăm $u = \large\frac{a-x}{a+x}$.
### 2. Calcularea diferențialei și a limitelor
Calculăm derivata lui $u$ în raport cu $x$:
$$du = \left( \large\frac{a-x}{a+x} \right)' dx = \large\frac{-(a+x) - (a-x)}{(a+x)^2} dx = \large\frac{-2a}{(a+x)^2} dx$$
De aici rezultă că:
$$\large\frac{dx}{(a+x)^2} = -\large\frac{1}{2a} du$$
Determinăm noile limite de integrare pentru $u$:
* Dacă $x = 0$, atunci $u = \large\frac{a-0}{a+0} = 1$.
* Dacă $x = a$, atunci $u = \large\frac{a-a}{a+a} = 0$.
### 3. Substituirea în integrală
Înlocuim expresiile găsite în integrala inițială:
$$I = \displaystyle \int_1^0 u^{n-1} \cdot \left( -\large\frac{1}{2a} \right) du$$
Putem elimina semnul minus inversând limitele de integrare:
$$I = \large\frac{1}{2a} \displaystyle \int_0^1 u^{n-1} \, du$$
### 4. Calculul final
Calculăm primitiva funcției putere:
$$I = \large\frac{1}{2a} \left[ \large\frac{u^n}{n} \right]_0^1$$
$$I = \large\frac{1}{2a} \left( \large\frac{1^n}{n} - \large\frac{0^n}{n} \right)$$
$$I = \large\frac{1}{2a} \cdot \large\frac{1}{n} = \large\frac{1}{2na}$$
**Răspunsul corect este:**
**□ $\large\frac{1}{2 n a}$**

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a calcula integrala $I = \displaystyle \int\limits_0^1 \large\frac{1}{\sin (a+x) \sin (b+x)} \mathrm{d} x$, vom folosi o metodă standard pentru integralele care conțin produse de funcții trigonometrice la numitor.
### 1. Utilizarea unei identități trigonometrice
Observăm că diferența argumentelor de la numitor este constantă:
$$(b+x) - (a+x) = b-a$$
Folosim identitatea $\sin(b-a) = \sin((b+x) - (a+x))$ pentru a rescrie numărătorul. Înmulțim și împărțim integrala cu constanta $\sin(b-a)$:
$$I = \large\frac{1}{\sin(b-a)} \displaystyle \int\limits_0^1 \large\frac{\sin((b+x) - (a+x))}{\sin(a+x) \sin(b+x)} \mathrm{d} x$$
### 2. Descompunerea fracției
Folosind formula $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$:
$$\large\frac{\sin(b+x)\cos(a+x) - \cos(b+x)\sin(a+x)}{\sin(a+x)\sin(b+x)} = \large\frac{\cos(a+x)}{\sin(a+x)} - \large\frac{\cos(b+x)}{\sin(b+x)}$$
Aceasta se simplifică la:
$$\cot(a+x) - \cot(b+x)$$
### 3. Integrarea
Integrăm termen cu termen:
$$I = \large\frac{1}{\sin(b-a)} \displaystyle \int\limits_0^1 (\cot(a+x) - \cot(b+x)) \mathrm{d} x$$
Știm că $\int \cot(u) \mathrm{d} u = \ln |\sin u|$. Astfel:
$$I = \large\frac{1}{\sin(b-a)} \left[ \ln |\sin(a+x)| - \ln |\sin(b+x)| \right]_0^1$$
$$I = \large\frac{1}{\sin(b-a)} \left[ \ln \left| \large\frac{\sin(a+x)}{\sin(b+x)} \right| \right]_0^1$$
### 4. Evaluarea limitelor
$$I = \large\frac{1}{\sin(b-a)} \left( \ln \left| \large\frac{\sin(a+1)}{\sin(b+1)} \right| - \ln \left| \large\frac{\sin a}{\sin b} \right| \right)$$
Folosind proprietățile logaritmilor ($\ln A - \ln B = \ln \large\frac{A}{B}$):
$$I = \large\frac{1}{\sin(b-a)} \ln \large\frac{\sin(a+1) \sin b}{\sin a \sin(b+1)}$$
### 5. Compararea cu opțiunile date
- Prima opțiune este $\ln \large\frac{\sin (a+1) \sin b}{\sin a \sin (b+1)}$, care este aproape de rezultat, dar îi lipsește factorul constant $\large\frac{1}{\sin(b-a)}$.
- Celelalte opțiuni nu corespund formei obținute.
Prin urmare, rezultatul corect nu se regăsește printre primele patru variante.
**Răspunsul corect este:**
**alt răspuns**

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a găsi simetricul punctului $A(4,0)$ față de dreapta $BC$, determinată de punctele $B(5,1)$ și $C(1,5)$, vom urma pașii de mai jos:
### 1. Determinarea ecuației dreptei $BC$
Panta dreptei $BC$ este:
$$m_{BC} = \large\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \large\frac{5 - 1}{1 - 5} = \large\frac{4}{-4} = -1$$
Ecuația dreptei $BC$:
$$y - 1 = -1(x - 5) \Rightarrow y - 1 = -x + 5 \Rightarrow x + y - 6 = 0$$
### 2. Observație importantă (Verificarea perpendicularității)
Să verificăm panta dreptei $AB$:
$$m_{AB} = \large\frac{1 - 0}{5 - 4} = \large\frac{1}{1} = 1$$
Deoarece $m_{AB} \cdot m_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$, rezultă că **$AB \perp BC$**.
Această observație simplifică mult calculul: dacă $AB$ este perpendiculară pe $BC$, atunci proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$ este chiar punctul **$B(5, 1)$**.
### 3. Calcularea simetricului
Dacă proiecția lui $A$ pe dreapta $BC$ este punctul $B$, atunci simetricul lui $A$ față de dreaptă (notat cu $A'$) este punctul pentru care $B$ este mijlocul segmentului $AA'$.
Fie $A'(x', y')$. Aplicăm formula mijlocului:
$$x_B = \large\frac{x_A + x'}{2} \Rightarrow 5 = \large\frac{4 + x'}{2} \Rightarrow 10 = 4 + x' \Rightarrow \mathbf{x' = 6}$$
$$y_B = \large\frac{y_A + y'}{2} \Rightarrow 1 = \large\frac{0 + y'}{2} \Rightarrow 2 = 0 + y' \Rightarrow \mathbf{y' = 2}$$
Deci, simetricul punctului $A$ față de dreapta $BC$ este punctul de coordonate **$(6, 2)$**.
**Răspuns corect:**
$(6,2)$

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Pentru a calcula lungimea laturii $AC$ în triunghiul $ABC$, vom folosi **Teorema Sinusurilor**:
$$\large\frac{BC}{\sin A} = \large\frac{AC}{\sin B} = \large\frac{AB}{\sin C}$$
### 1. Identificarea datelor cunoscute
* $BC = a = 4$
* $m(\widehat{A}) = 60^{\circ}$
* $m(\widehat{B}) = 45^{\circ}$
* $AC = b = ?$
### 2. Aplicarea Teoremei Sinusurilor
Folosim raportul dintre laturile $BC$ și $AC$ și sinusurile unghiurilor opuse lor:
$$\large\frac{BC}{\sin A} = \large\frac{AC}{\sin B}$$
Înlocuim valorile cunoscute:
$$\large\frac{4}{\sin 60^{\circ}} = \large\frac{AC}{\sin 45^{\circ}}$$
### 3. Calculul valorilor trigonometrice
Știm că:
* $\sin 60^{\circ} = \large\frac{\sqrt{3}}{2}$
* $\sin 45^{\circ} = \large\frac{\sqrt{2}}{2}$
### 4. Rezolvarea ecuației pentru AC
$$\large\frac{4}{\large\frac{\sqrt{3}}{2}} = \large\frac{AC}{\large\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
Putem simplifica numitorii fracțiilor (înmulțind ambii membri cu $\large\frac{1}{2}$ sau observând că numitorul fracției de la numitor este același):
$$\large\frac{4}{\sqrt{3}} = \large\frac{AC}{\sqrt{2}}$$
Izolăm $AC$:
$$AC = \large\frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$
Raționalizăm numitorul (înmulțim și sus și jos cu $\sqrt{3}$):
$$AC = \large\frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$$
$$AC = \large\frac{4\sqrt{6}}{3}$$
**Răspuns corect:**
$\large\frac{4 \sqrt{6}}{3}$