Test “Progresii Aritmetice și Geometrice”

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Răspuns corect: 1
Rezolvare:
Trebuie să găsim cel mai mic $n$ pentru care $a_n>0$.
$$
\begin{aligned}
& a_n=a_1+(n-1) r=-5+(n-1) 2>0 \\
& -5+2 n-2>0 \\
& 2 n>7 \\
& n>3.5
\end{aligned}
$$
Cel mai mic număr întreg n care satisface condiția este $\mathrm{n}=4$.
Calculăm $a_4: a_4=-5+(4-1) 2=-5+3 \cdot 2=-5+6=1$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Răspuns corect: 275
Rezolvare:
Termenii formează o progresie aritmetică cu $\mathrm{a}_1=5$ și rația $\mathrm{r}=9-5=4$.
Mai întâi, aflăm numărul de termeni, $n$.
$$
a_n=a_1+(n-1) r \Rightarrow 45=5+(n-1) 4 \Rightarrow 40=(n-1) 4 \Rightarrow 10=n-1 \Rightarrow n=11 .
$$
Acum calculăm suma:
$$
S_{11}=\left(a_1+a_{11}\right) \cdot 11 / 2=(5+45) \cdot 11 / 2=50 \cdot 11 / 2=25 \cdot 11=275 .
$$

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

**Răspuns corect: $19$**

**Rezolvare:**
Folosim proprietatea termenilor echidistanți: $a_x + a_y = a_u + a_v$ dacă $x+y = u+v$.
Avem $4+10=14$ și $7+7=14$, deci $a_4 + a_{10} = a_7 + a_7 = 2a_7$.
$2a_7 = 38 \implies a_7 = 19$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Răspuns corect: 4
Rezolvare:
Proprietatea termenilor consecutivi ai unei progresii aritmetice este că termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi: $a_k=\left(a_{k-1}+a_{k+1}\right) / 2$.

Dacă termenii sunt $\mathrm{x}-1,2 \mathrm{x}+1$ și $4 \mathrm{x}-1$ : $2 x+1=[(x-1)+(4 x-1)] / 2 \Rightarrow 2(2 x+1)=5 x-2 \Rightarrow 4 x+2=5 x-2 \Rightarrow x=4$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare $\frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}$:
Raționalizăm fiecare termen:
$\frac{1}{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{a_{k+1}-a_k} = \frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{r}$.
Suma devine:
$S = \frac{1}{r} [(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}) + ... + (\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}})]$.
Termenii se reduc (telescopare):
$S = \frac{1}{r} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$.
Pentru a ajunge la forma din răspunsuri, amplificăm cu conjugata:
$S = \frac{1}{r} \frac{a_n - a_1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$.
Știm că $a_n = a_1 + (n-1)r \Rightarrow a_n - a_1 = (n-1)r$.
$S = \frac{1}{r} \frac{(n-1)r}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare: Termenii sunt: $b_1=1$, $b_2=1 \cdot 4=4$, $b_3=4 \cdot 4=16$.
Suma $S_3 = 1 + 4 + 16 = 21$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
Secvența valorilor absolute este o PG cu $b_1=32$ și $q=1/2$: $32, 16, 8, 4, 2, 1, 0.5 \dots$
$|b_1| = 32$
$|b_2| = 16$
$|b_3| = 8$
$|b_4| = 4$
$|b_5| = 2$
$|b_6| = 1$
$|b_7| = 0.5 < 1$.
Deci $b_7$ este termenul căutat.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
$b_4 = 2 \cdot (-3)^3$
$b_4 = 2 \cdot (-27) = -54$.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Reformulare pentru claritate:
Fie o PG unde produsul primilor $n$ termeni este $P_n = 3^{n^2}$ pentru orice $n \ge 1$. Determinați rația $q$.
Rezolvare (la problema revizuită):
$P_n = b_1 \cdot b_2 \cdot \dots \cdot b_n = 3^{n^2}$.
Pentru $n=1$: $P_1 = b_1 = 3^{1^2} = 3$.
Pentru $n=2$: $P_2 = b_1 \cdot b_2 = 3^{2^2} = 3^4 = 81$.
Știind $b_1 = 3$, avem $3 \cdot b_2 = 81 \Rightarrow b_2 = 27$.
Rația $q = b_2 / b_1 = 27 / 3 = 9$.
Verificăm pentru $n=3$: $b_3 = 27 \cdot 9 = 243 = 3^5$.
$P_3 = 3^1 \cdot 3^3 \cdot 3^5 = 3^{1+3+5} = 3^9$. Formula $3^{n^2}$ dă $3^{3^2} = 3^9$. Corect.
Rația este 9.

Rezolvări generate cu AI. Este posibil ca unele rezolvări să depașească nivelul materiei. Raportează întrebarea și voi schimba rezolvarea.

Rezolvare:
Înmulțim expresia cu $(1-x)$.
$P(1-x) = (1-x)(1+x)(1+x^2)\dots(1+x^{2^n})$.
Folosim succesiv formula diferenței de pătrate $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(1-x)(1+x) = 1-x^2$.
$(1-x^2)(1+x^2) = 1-x^4$.
...
Procesul continuă până la ultimul termen:
$(1-x^{2^n})(1+x^{2^n}) = 1 - (x^{2^n})^2 = 1 - x^{2^{n+1}}$.
Deci $P(1-x) = 1 - x^{2^{n+1}} \Rightarrow P = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$.